실근 개수는 도함수와 그래프로 줄여 보기
고3 학생은 방정식 풀이와 미분계산을 할 수 있었지만 매개변수에 따른 실근 개수를 묻는 문제에서도 원방정식을 직접 풀려고 했다.
계산시간이 충분하면 접근을 이어 갔으나 식이 복잡해지면 도함수와 극값을 이용해 개수를 판단하는 전환이 늦어졌다.
원방정식을 끝까지 풀려다 막힌 장면
준고난도 문항에서 학생은 고차방정식을 전개하다 계산이 길어졌고 일부 해를 놓쳤다. 그래프의 극값과 수평선 위치를 비교하면 가능한 교점 수를 먼저 제한할 수 있었다.
계산 능력의 문제가 아니라 질문이 해의 값인지 해의 개수인지 확인하지 않고 익숙한 대수풀이를 선택한 것이 최초 오류였다.
극값과 수평선의 관계로 조건 나누기
방정식을 함수와 수평선의 교점 문제로 바꾸고 도함수 부호표로 극값을 구한 뒤 매개변수 구간별 교점 수를 정리하게 했다.
- 질문이 실근의 값인지 개수인지 구분한다.
- 차함수 또는 한쪽 함수를 새로 정의한다.
- 도함수로 극값과 그래프 개형을 찾는다.
- 매개변수 기준값마다 교점 수를 검증한다.
매개변수를 바꾼 문제에서 다시 판단하기
매개변수와 계수를 바꾼 문제에서도 학생은 원방정식 전개부터 시작하지 않았다. 그래프 정보를 먼저 만들고 특수값으로 교점 수를 검산했다.
삼각산고등학교 고3수학과외 학습에서 중요한 변화는 긴 계산을 끝내는 데서 벗어나 질문에 맞는 그래프 정보로 문제를 단순화하는 데 있다.