공식보다 먼저 확인해야 할 것
신도고등학교 수학과외에서 자주 다루는 장면 중 하나는 공식은 정확히 기억하지만, 문제를 읽자마자 익숙한 식에 대입하면서 오답이 시작되는 경우다. 교과서 기본문제처럼 공식의 모양이 눈에 잘 들어오는 문제에서도 공식을 사용할 조건을 확인하지 않으면, 계산은 맞아도 문제에 맞지 않는 답을 얻게 된다.
실제로 한 학생은 경우를 나누어야 하는 문제에서 공식 형태를 발견하자마자 값을 대입했다. 그러나 그 공식이 성립하려면 필요한 조건 하나가 문제에 주어졌는지 확인하지 않았다. 풀이 뒤에는 특정 조건이 남았고, 나눈 경우가 서로 겹치는지 또는 빠진 경우가 있는지도 점검하지 않았다. 오답의 시작은 계산 과정이 아니라 ‘이 공식을 써도 되는가’를 판단하지 않은 순간이었다.
문제를 읽을 때 식보다 먼저 분류하는 과정
이런 문제에서는 먼저 구해야 할 값을 적고, 주어진 정보를 역할에 따라 나누어 본다. 공식에 바로 넣을 수 있는 수와 공식 사용 여부를 결정하는 조건을 구별해야 한다. 경우를 나누는 문제라면 무엇을 기준으로 나눌지 먼저 정한 뒤 각 경우가 겹치지 않는지, 빠진 경우는 없는지 확인한다.
예를 들어 어떤 상황을 두 경우로 나누었다면 다음 질문을 풀이 중간에 남긴다.
- 두 경우를 가른 기준이 문제의 조건과 일치하는가?
- 같은 상황이 두 경우에 동시에 들어가지는 않는가?
- 문제에서 가능한 상황 중 빠진 경우는 없는가?
- 선택한 공식의 조건을 실제 문제에서 확인했는가?
이 과정을 거친 뒤에야 공식을 적는다. 공식 자체를 떠올리는 능력보다, 그 공식이 필요한 개념인지 근거를 먼저 설명하는 것이 핵심이다.
교과서 기본문제에서 근거를 끌어내기
현재 학생은 공식을 암기하고 기본적인 계산도 수행할 수 있다. 다만 공식이 보이면 사용 조건을 확인하는 순서가 흔들리고, 교과서 기본문제에서도 ‘왜 이 개념을 선택했는지’를 따로 꺼내 설명하지 않는 경향이 있다. 따라서 풀이를 시작하기 전에 필요한 개념을 한 문장으로 말하게 한다.
공식 대입 전, 이 문제의 조건 중 어떤 것이 이 개념을 사용하게 하는지 먼저 적는다.
그 다음 문제의 조건마다 표시를 남긴다. 공식 선택에 사용한 조건은 풀이 옆에 연결하고, 경우를 나누는 데 사용한 조건은 각 경우의 제목처럼 적는다. 풀이가 끝나면 사용한 조건을 하나씩 확인하면서 남은 조건이 없는지 살핀다. 단순한 오답노트보다 최초로 판단이 어긋난 지점을 표시하는 방식이 이 문제에 더 적합하다.
대입 전후의 풀이가 달라지는지 확인하기
수정된 풀이에서는 문제를 읽자마자 숫자를 옮기지 않고, 먼저 ‘구하는 것’, ‘나누는 기준’, ‘공식의 사용 조건’을 적는다. 이후 공식에 값을 넣고, 각 경우의 범위를 다시 확인한다. 계산 결과가 나와도 경우가 겹치거나 누락되었다면 답을 확정하지 않는다.
며칠 뒤 숫자와 조건을 바꾼 변형문제를 다시 풀 때는 공식 모양이 같아도 곧바로 대입하지 않고, 먼저 기준을 정했다. 풀이 후에는 사용하지 않은 조건을 스스로 찾아내고, 공식이 성립하는 이유를 짧게 설명했다. 신도고등학교수학과외의 학습도 이처럼 공식 암기에서 멈추지 않고, 문제의 조건과 개념 선택을 연결하는 풀이 행동을 확인하는 방향으로 진행된다.