강일고등학교 고2 수학과외에서 다룬 조건 해석과 함수 관계
강일동 연계 학습에서는 문장형 조건을 곧바로 계산식으로 바꾸기보다, 먼저 조건이 바뀌는 기준점을 찾고 그 기준에 따라 경우별 식을 독립적으로 세우는 훈련을 진행했다. 현재 이 고2 학생은 변화, 비교, 범위를 등식과 부등식으로 옮길 수 있고 함수의 기본 관계도 파악한다. 다만 변화율과 범위 조건이 함께 나오면 숫자를 먼저 식에 대입한 뒤 관계식을 뒤늦게 붙이는 경향이 남아 있다.
숫자부터 대입하면서 생긴 최초 오류
다음 날 무표시 재풀이에서 조건 세 개가 제시된 함수 문제를 풀 때 이 문제가 분명하게 드러났다. 학생은 계산하기 쉬운 값을 먼저 대입해 식을 만든 뒤, ‘이상’과 ‘이하’의 범위를 마지막에 확인했다. 그 결과 기준값 전후에서 함수식이 달라지는 문제를 하나의 식으로 끝까지 풀었고, 변화율 조건이 적용되는 구간과 비교 대상의 범위가 어긋났다.
예를 들어 어떤 길이의 변화에 따라 넓이가 달라지는 상황에서 증가량을 x로 둘 때, 먼저 도형의 넓이식을 세운 다음 변화율과 허용 범위를 붙이는 방식으로 진행했다. 그러나 실제로는 x가 기준값보다 작을 때와 클 때 변의 길이 관계가 달라질 수 있으므로, 기준값을 a라 두고 x<a, x=a, x>a로 나누어야 한다. 학생은 이 분기를 생략해 성립하지 않는 구간의 해까지 포함했다.
조건을 식으로 옮기는 순서 재구성
수정할 때는 문제의 문장을 세 종류로 분리했다. 먼저 ‘변한다’는 표현은 변화량이나 변화율로, ‘비교한다’는 표현은 등식 또는 부등식으로, ‘이상·이하’는 변수의 범위로 표시했다. 그 뒤 기준값을 찾아 각 경우의 함수식을 따로 세우고, 마지막에 정의역과 치역을 계산 전후로 대조했다.
- 기준이 바뀌는 값과 그 이유를 먼저 표시한다.
- 각 구간에서 도형의 길이 관계와 대수식을 따로 작성한다.
- 변화율, 비교조건, 범위조건을 각각 기호로 옮긴다.
- 구한 해를 원래 함수식과 정의역에 다시 대입한다.
이 과정을 거치자 식을 먼저 만든 뒤 조건을 끼워 맞추는 대신, 조건이 식의 형태와 적용 구간을 결정한다는 점을 확인할 수 있었다. 특히 도형에서 얻은 길이가 음수가 되거나 실제 범위를 벗어나면 계산 결과라도 해로 인정하지 않도록 했다.
조건을 바꾼 문제에 다시 적용하기
이후에는 숫자와 기준값을 바꾼 문제를 제시했다. 처음에는 같은 풀이순서를 반복했지만, 두 번째 문제부터는 문장에 밑줄을 그어 핵심조건과 보조조건을 구분하고 기준값을 먼저 표에 정리했다. 구간별 식을 세운 뒤 그래프의 위치와 식의 대소관계를 대조하면서 어느 구간에서 조건이 만족되는지 확인했다.
강일고등학교 고2수학과외 학습에서도 새로운 문제를 만났을 때 계산 가능한 조건부터 선택하지 않고, 기준값과 정의역을 먼저 확인하는지를 중점적으로 점검한다. 다음 무표시 재풀이에서는 학교 프린트와 다른 숫자를 사용해 변화율과 비교조건의 위치를 바꾸었고, 학생은 조건을 등식·부등식·함수관계로 나누어 적은 뒤 경우별 해를 검산했다.