원묵고등학교 고1수학과외에서 다루는 조건 해석과 풀이 순서
묵동과 연결된 원묵고등학교 고1수학과외 학습에서는 주말 누적복습 때 문제에 제시된 정보를 모두 계산에 넣기보다, 먼저 구해야 하는 값과 필요한 조건을 골라내는 연습을 진행한다. 특히 교과서 예제를 변형한 표 자료형 문제에서는 순열적 사고와 명제의 구조를 함께 확인하고, 절댓값 조건을 구간으로 바꾼 뒤 공통부분을 찾아야 한다.
참·거짓을 먼저 고르면서 생긴 오류
한 고1 학생은 표에 여러 조건과 좌표가 함께 제시된 문제에서 명제의 참·거짓부터 판단했다. 하지만 가정과 결론을 나누어 적지 않은 채 표의 숫자를 대입했고, 가정과 결론을 뒤바꾼 상태에서 반례를 만들었다. 그 결과 반례가 실제 명제를 반박하지 못했는데도 명제가 거짓이라고 판단했다.
풀이를 따라가 보면 먼저 표의 수를 선택해 계산하고, 그 결과를 참·거짓 판단에 연결했다. 그러나 명제가 “가정이면 결론이다”의 형태인지 확인하지 않았고, 어떤 조건을 만족하는 값을 반례로 삼아야 하는지도 정하지 않았다. 좌표가 포함된 경우에도 점의 위치와 식의 조건을 따로 확인하지 않아, 계산된 값은 맞아도 명제의 논리와 맞지 않는 답이 되었다.
참·거짓 판단보다 먼저 가정과 결론을 분리하고, 반례가 가정을 만족하면서 결론만 깨뜨리는지 확인한다.
절댓값 조건을 구간으로 바꾸는 과정
현재는 그래프와 식을 함께 제시하면 명제의 참·거짓을 판단할 수 있고, 절댓값 부등식을 각각의 범위로 나누어 계산하는 것도 가능하다. 다만 여러 조건이 한 문제에 섞이면 순서를 바꾸어 계산하거나, 각각 구한 범위의 공통부분을 확인하지 않은 채 마지막에 나온 구간을 답으로 쓰는 모습이 남아 있다.
예를 들어 절댓값 조건에서 먼저 경계값을 구한 뒤 수직선에 표시하고, 다른 조건에서 나온 범위도 같은 수직선에 겹쳐 그려야 한다. 한 범위가 모든 조건을 만족하는 해가 아니라면 교집합이 될 수 없으므로, 조건별 해를 따로 표시한 뒤 공통으로 남는 부분만 선택한다. 좌표 문제에서는 구한 x값을 원래 식과 그래프에 다시 대조해 점의 위치가 조건과 일치하는지도 확인한다.
오류 지점을 표시한 수정 과정
- 문제의 문장을 가정과 결론으로 나누어 각각 한 줄씩 적는다.
- 구해야 할 값, 반드시 사용해야 할 조건, 보조적으로 확인할 조건을 구분한다.
- 반례를 만들 때 가정을 만족하는지 먼저 대입하고, 그 뒤 결론이 성립하지 않는지 확인한다.
- 절댓값 조건은 구간별로 나누어 계산한 뒤 수직선에서 공통부분을 표시한다.
- 최초 오류가 참·거짓 판단인지, 조건별 범위 계산인지 표시하고 해설 없이 다시 찾는다.
이후 같은 구조에서 숫자를 바꾼 문제와 조건의 방향을 바꾼 문제를 적용했다. 처음에는 반례의 숫자만 바꾸었지만 가정과 결론을 뒤집는 실수가 반복되었다. 그래서 숫자를 정하기 전에 “이 값은 가정을 만족하는가?”, “결론을 실제로 깨뜨리는가?”를 문장으로 설명하게 했다. 절댓값 조건도 각 범위를 구한 다음 교집합을 수직선에 표시하도록 했다.
새 문제에서는 표의 모든 수를 바로 계산하지 않고 먼저 명제의 구조와 필요한 조건을 표시했다. 이어 절댓값 조건을 구간으로 바꾸고, 공통부분을 확인한 뒤 원래 식과 그래프에 재대입했다. 원묵고등학교고1수학과외 학습에서도 이러한 풀이 순서를 유지하면 계산 결과뿐 아니라 왜 그 조건을 선택했는지까지 서술할 수 있다.