조건이 바뀌는 순간을 잡아내는 신서고등학교 고2 수학과외
신서고등학교 고2 수학과외에서는 교과서 심화문제를 풀 때 계산을 시작하기 전에 문제를 결정하는 조건과 개념의 연결순서를 먼저 세우는 훈련을 진행했다. 특히 등비수열의 관계를 이용해 항을 정한 뒤, 조건 하나가 추가되거나 사라졌을 때 어느 단계부터 풀이를 다시 설계해야 하는지를 확인했다.
한 고2 학생은 두 풀이 중 계산이 짧은 방법을 먼저 선택하는 데에는 익숙했다. 그러나 매개변수가 포함된 등비수열 문제에서 빠른 풀이를 그대로 밀고 나가면서 매개변수의 범위를 확인하지 않았고, 특정 구간에서만 성립하는 해를 답에 포함하거나 반대로 일부 해를 빠뜨렸다. 계산 자체보다 먼저 세운 관계식이 새로운 조건과 계속 양립하는지 점검하지 않은 것이 최초 오류였다.
기존 풀이를 끝까지 유지한 이유
문제의 조건이 하나 바뀌면 학생은 변화를 알아차리기는 했다. 하지만 기존 풀이에서 첫 항과 공비를 정한 뒤, 추가된 조건을 마지막 검산 단계에서만 확인했다. 실제로는 추가 조건 때문에 공비의 범위와 항의 부호를 정하는 단계부터 달라졌는데, 이전 중간값을 그대로 사용해 이후 식을 전개했다.
수열 규칙을 찾는 문제에서도 몇 개의 항을 보고 등비수열이라고 판단한 뒤, 새 조건이 들어왔을 때 일반항을 다시 세우지 않았다. 제한시간이 되면 조건 표시를 생략하고 계산을 이어 가는 경향도 있어, 풀이의 어느 단계가 핵심 조건에 의해 결정되는지 구분하는 속도가 일정하지 않았다.
풀이 순서를 조건 중심으로 재설계하기
- 먼저 주어진 조건을 ‘항 사이의 관계’, ‘매개변수의 범위’, ‘추가 또는 제거된 조건’으로 나눈다.
- 등비수열의 첫 항과 공비를 정하기 전에 각 조건이 어느 미지수를 제한하는지 표시한다.
- 조건이 바뀌면 기존 식 전체를 반복하지 않고, 변화가 시작된 최초 단계부터 다시 세운다.
- 빠른 풀이와 직접 관계식을 세우는 풀이를 비교해 누락된 조건을 검산하기 쉬운 방법을 선택한다.
이후에는 두 풀이에서 확인할 수 있는 조건의 수를 비교하게 했다. 계산이 짧더라도 매개변수 범위를 끝까지 확인하기 어렵다면, 항의 관계를 직접 나타내는 방법을 선택하도록 했다. 답을 구한 뒤에는 매개변수의 경계값을 대입해 특정 구간의 해가 빠지지 않았는지 확인하고, 처음 조건을 원식에 다시 넣어 성립 여부를 검산했다.
조건이 바뀌었다는 사실을 아는 것과, 그 변화가 풀이의 어느 단계부터 영향을 주는지 찾는 것은 다르다.
숫자와 조건을 바꾼 재적용
다음 날에는 같은 풀이 예시를 보지 않은 상태에서 등비수열의 항과 매개변수 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 이번에는 첫 식을 세우기 전에 조건을 표시하고, 추가된 조건이 공비를 정하는 단계에 영향을 준다는 점을 먼저 적었다. 이후 두 풀이를 비교한 뒤 매개변수의 범위를 확인할 수 있는 방법을 골랐고, 마지막에는 경계값과 원식을 함께 대입했다.
조건 하나를 제거한 문제에서는 기존 식 중 어떤 관계가 더 이상 필요한지 표시하게 했다. 그 결과 이전처럼 사라진 조건에서 나온 중간값을 계속 사용하지 않고, 해당 단계부터 일반항과 범위를 다시 구성했다. 신서고등학교 고2 수학과외의 핵심은 빠른 풀이 자체가 아니라 조건 변경에 따라 풀이의 출발점을 바꾸고, 제한시간에도 최소한의 조건 표시와 핵심 검산을 유지하는 데 있다.