경일고등학교 수학과외에서 먼저 살피는 오답의 시작점
조건이 여러 개 제시된 문제를 풀고 답을 맞혔다고 생각했지만, 다시 보니 같은 경우를 두 번 세고 정작 한 경우는 빠져 있던 장면이 있었다. 계산식의 전개만 보면 큰 오류가 없어 보였지만, 경우를 떠올린 순서대로 적은 것이 최초의 판단 오류였다. 문제의 조건을 모두 사용했는지 확인하지 않았고, 각 경우가 서로 겹치는지도 점검하지 않았기 때문에 최종 답이 달라졌다.
경일고등학교 수학과외에서는 이런 오답을 단순한 계산실수로 기록하지 않는다. 어떤 조건을 읽은 뒤 어떤 경우를 먼저 만들었는지, 두 경우가 같은 대상을 포함하고 있지는 않은지, 빠진 조건이 남아 있지는 않은지를 풀이의 시작 부분부터 되짚는다. 정답을 얻은 뒤에도 문제에 제시된 조건을 하나씩 대조해 사용 여부를 확인하는 과정이 필요하다.
조건과 경우를 한꺼번에 처리하지 않는 풀이
조건이 세 개 이상인 문제에서는 먼저 구해야 할 값과 조건의 역할을 나눈다. 예를 들어 식의 해를 구하는 문제라면 주어진 식에서 나온 후보를 그대로 답으로 확정하지 않고, 각 후보가 원래 조건을 만족하는지 다시 대입한다. 경우를 나누어야 한다면 떠오르는 순서가 아니라 기준을 정해 표로 정리한다.
- 경우를 나누는 기준을 한 가지 먼저 정한다.
- 각 경우에 포함되는 조건을 옆에 표시한다.
- 이미 센 대상을 다른 경우에서 다시 세지 않았는지 확인한다.
- 빠진 경우가 없는지 전체 범위와 대조한다.
이렇게 정리하면 같은 경우를 두 번 세는 문제와 한 경우를 누락하는 문제가 구분된다. 마지막에는 구한 해의 범위와 경계값을 계산 결과와 함께 검토한다. 부등식에서 경계값이 포함되는지, 제외되는지에 따라 그래프의 점과 구간이 달라지므로 등호의 유무도 별도로 확인한다.
식의 조건과 그래프 변화를 연결하는 연습
현재는 그래프의 기본 모양은 이해하고 있지만, 식에 붙은 조건과 그래프의 변화를 동시에 판단할 때 시작이 늦어지는 상태다. 따라서 식을 계산한 다음 그래프를 그리는 방식만 반복하지 않고, 조건이 바뀌면 그래프에서 무엇이 달라지는지 먼저 말하게 한다.
예를 들어 해의 범위를 구한 뒤에는 그 범위를 수직선이나 그래프에 표시하고, 끝점이 실제로 포함되는지 원래 식에 다시 대입한다. 그래프에서 보이는 교점이나 구간이 계산으로 얻은 해와 일치하는지도 확인한다. 식에서는 해가 두 개로 나왔는데 그래프에는 한 교점만 표시되는 경우처럼 서로 충돌하는 장면을 일부러 찾아보면 판단 근거가 분명해진다.
시험 후 분석을 다음 문제의 행동으로 옮기기
시험 후 분석에서는 틀린 문제의 정답만 다시 적지 않고, 최초 오류 지점에 표시를 남긴다. 경우를 나눈 첫 줄에서 중복이 생겼다면 그 줄을 표시하고, 사용하지 않은 조건이나 확인하지 않은 경계값을 옆에 적는다. 이후 해설을 가린 채 같은 문제를 다시 풀면서 경우의 기준과 해의 범위를 먼저 적는다.
주말 누적복습에서는 숫자나 조건을 조금 바꾼 문제를 이어서 풀어 본다. 새 문제에서 바로 계산을 시작하지 않고 조건을 표시한 뒤 전체 범위를 정리하는지 확인한다. 그래프 문제라면 계산 전에 예상되는 모양과 끝점을 간단히 적고, 풀이 후 식과 그래프를 다시 대조한다. 이 과정을 통해 자기점검이 문제를 다 푼 뒤의 형식적인 확인이 아니라 풀이 중 판단을 조정하는 행동으로 이어진다.
경일고등학교 수학과외에서 확인할 변화는 정답 개수만이 아니다. 이 학생은 재풀이에서 같은 경우를 두 번 적은 지점을 스스로 찾아 지우고, 빠진 경우를 범위표에서 확인하기 시작한다. 계산 결과가 나오면 경계값을 원래 조건에 대입하고, 식과 그래프가 맞지 않을 때는 계산실수라고 넘기기보다 조건 해석과 경우 분류 중 어디서 어긋났는지 설명하게 된다.