무학여자고등학교 고2수학과외에서 다룬 조건 해석과 반례 검증
무학여자고등학교 고2수학과외에서는 복잡한 문장조건을 집합과 명제의 기호로 옮길 때, 문장의 순서가 아니라 실제 포함관계를 먼저 확인하도록 훈련했다. 기본적인 부분집합은 알고 있었지만 조건이 바뀐 서술형에서는 기준이 되는 집합과 포함되는 집합을 구분하지 못하는 장면이 나타났다.
문장 순서 때문에 포함관계의 방향이 뒤집힌 장면
문제에서 ‘A에 속하는 모든 원소가 B에도 속한다’고 제시되자 학생은 문장에 먼저 나온 A를 오른쪽에 적어 B⊂A로 표시했다. 이후 벤다이어그램에서도 A를 B 안에 그려 기호와 그림의 방향이 모두 뒤집혔다. 조건을 바꾼 문제에서도 원래 문장의 기준을 따로 꺼내지 않고 문장 순서만 따라가면서 같은 오류가 반복됐다.
수업에서는 먼저 ‘A의 원소가 B 안에 들어간다’고 말로 바꾸게 한 뒤, A를 바깥 원으로 그리고 B를 안쪽 원으로 그려 보게 했다. 그다음 기호를 A⊂B로 적고, 실제 원소를 넣어 A={1, 2}, B={1, 2, 3}일 때 어느 쪽이 포함되는지 확인했다. 숫자나 조건을 바꿔도 원소가 들어가는 방향을 먼저 판단하게 하자 문장 배열에 따른 기호 반전이 줄었다.
원명제와 역을 구분하는 반례 훈련
명제 ‘어떤 수가 4의 배수이면 짝수이다’를 본 뒤에는 원명제가 참이므로 역인 ‘짝수이면 4의 배수이다’도 참이라고 판단했다. 그러나 2를 대입하면 짝수이지만 4의 배수는 아니므로 역은 거짓이다. 학생은 처음에 원명제와 역의 진릿값을 함께 처리했고, 반례를 직접 넣은 뒤에야 두 명제가 서로 다른 조건을 가진다는 점을 확인했다.
원명제: p이면 q이다 / 역: q이면 p이다 / 대우: q가 아니면 p가 아니다
이후 세 칸으로 나누어 원명제·역·대우를 적고, 각 칸에 참과 거짓을 표시한 다음 반례 또는 원식 검증 근거를 붙였다. 새 문제에서는 답만 바꾸지 않고 ‘어떤 조건이 기준인지’, ‘거짓이라면 어떤 수가 반례인지’를 말하게 했다.
조건을 바꾼 문제에 다시 적용한 과정
무학여자고등학교 고2수학과외의 재적용에서는 집합의 포함관계와 명제의 방향을 함께 바꾼 문제를 사용했다. 먼저 원소 포함을 그림으로 확인하고, 이어서 원명제와 역을 세 칸에 분리했다. 공비와 부호 변화가 포함된 등비관계 문제에서도 첫 항과 다음 항만 보고 판단하지 않고 마지막 항까지 관계가 유지되는지 점검하게 했다.
다음 날에는 표시 없이 숫자와 조건을 바꾼 문제를 풀게 했다. 학생은 이제 문장을 읽은 순서대로 기호를 쓰지 않고 기준 집합을 먼저 정한 뒤 포함 방향을 표시했으며, 역의 참·거짓도 간단한 반례를 찾아 검산했다. 조건이 달라졌을 때 판단 근거를 말로 설명하는 과정까지 확인하면서 서술형 풀이의 논리 연결을 보완했다.