결론에 닿지 못한 증명 풀이의 시작점
잠신고등학교 수학과외에서 먼저 살펴볼 장면은 여러 단원이 섞인 심화문항을 풀 때 나타난다. 학생은 주어진 조건을 순서대로 옮겨 적고 관련 식도 세우지만, 결론을 증명하는 데 필요한 핵심 조건을 끝까지 연결하지 못한다. 풀이 과정에는 적은 내용이 많아 보여도 어느 조건이 결론에 직접 쓰였는지 확인하기 어려워지고, 마지막에는 계산을 조금 고친 뒤 오답노트에 ‘계산 실수’라고만 남긴다.
하지만 최초의 오류는 계산 단계보다 앞에서 생긴다. 문제의 조건을 읽은 뒤 익숙한 처리순서로 바로 시작하면서, 구해야 할 결론과 연결되는 조건을 따로 표시하지 않은 것이다. 경우를 나누는 문제에서도 기준 자체는 알고 있지만, 경우가 늘어나면 같은 경우를 두 번 세거나 하나를 빠뜨린다.
심화문제를 기본 구조로 낮춰 보는 연습
이때 모든 조건을 한꺼번에 처리하려 하기보다 문제를 기본문제로 단순화한다. 먼저 구해야 할 값이나 증명할 명제를 적고, 주어진 조건을 ‘식으로 바꿀 조건’, ‘경우를 나눌 조건’, ‘마지막에 확인할 조건’으로 구분한다. 증명 문제라면 조건을 나열하는 데서 멈추지 않고, 각 조건으로 무엇을 얻을 수 있는지 한 줄씩 적는다.
경우를 나누는 문항은 다음과 같이 표를 만들어 누락과 중복을 드러낸다.
- 첫 번째 분류 기준을 하나로 고정한다.
- 각 경우에 해당하는 조건을 끝까지 적는다.
- 이미 센 경우와 아직 세지 않은 경우를 표시한다.
- 전체 경우가 빠짐없이 나뉘었는지 합계로 확인한다.
이 과정을 거치면 심화문항도 익숙한 기본문제의 조합으로 보이기 시작한다. 중요한 것은 어려운 풀이를 새로 떠올리는 것이 아니라, 조건을 줄여 핵심 관계를 먼저 확인하는 것이다.
답을 얻은 뒤 다른 방향으로 검증하기
문제를 단순화해 답을 구한 뒤에는 처음 사용한 절차를 그대로 반복하지 않는 짧은 검증을 붙인다. 식으로 구한 값은 원래 조건에 대입하고, 경우를 나눈 결과는 각 경우의 조건을 다시 대조한다. 증명 문제라면 도출한 중간 결과가 결론을 실제로 뒷받침하는지 역산하듯 확인한다.
예를 들어 어떤 값이 특정 조건에서 나왔다면 그 값을 원래 식에 넣어 조건을 만족하는지 살핀다. 경우의 수라면 각 경우의 대표값을 대입해 중복으로 세어진 항목이 없는지 확인한다. 답이 맞더라도 사용하지 않은 조건이 남아 있다면 풀이가 완결된 것이 아니므로, 그 조건이 왜 필요한지 설명할 수 있어야 한다.
풀이를 끝낸 뒤에는 계산을 다시 하는 대신, 처음과 반대 방향의 확인을 한 번 남긴다.
오답노트에서 최초의 오류를 다시 찾기
오답 기록에는 틀린 계산만 적지 않고 ‘최초로 잘못 해석한 조건’을 표시한다. 조건을 읽은 순간 무엇을 빠뜨렸는지, 어느 경우를 중복으로 처리했는지, 결론에 필요한 중간 결과를 어디서 끊었는지를 풀이 옆에 남긴다. 해설을 본 직후 베껴 쓰는 방식보다, 며칠 뒤 자료를 덮고 첫 식부터 다시 시작하는 과정이 중요하다.
처음에는 기본문제에서는 적용되던 방법을 심화문제에 옮기는 데 시간이 걸릴 수 있다. 따라서 재풀이 때는 제한시간보다 풀이의 기준을 먼저 점검한다. ‘무엇을 구하는가’, ‘어떤 조건으로 나누는가’, ‘답을 어떤 방식으로 확인할 것인가’를 짧게 적은 뒤 문제에 들어간다. 이후 숫자나 조건을 바꾼 변형문제에서도 같은 순서로 단순화하고 검증한다.
풀이 시간이 길어질 때 남겨야 할 기준
잠실동에서 잠신고등학교 수학과외를 진행할 때도 긴 풀이를 무조건 줄이기보다, 시간이 늘어나는 이유를 구분해 보는 것이 필요하다. 조건을 해석하는 데 시간이 걸린 것인지, 경우를 나누는 과정에서 누락을 확인하지 못한 것인지, 답을 얻은 뒤 검산을 생략한 것인지에 따라 수정 지점이 달라진다.
며칠 뒤 다시 푼 문제에서 학생이 오답의 원인을 단순 계산실수가 아니라 ‘결론에 필요한 조건을 끝까지 연결하지 못한 것’이라고 설명하고, 답을 구한 뒤 원래 조건에 대입하거나 경우표를 다시 대조한다면 학습 기준이 실제 풀이에 자리 잡은 것으로 볼 수 있다.