광양고등학교고3수학과외의 극한·연속 조건 변경 훈련
주말 누적복습에서 이 학생은 조각함수의 좌극한과 우극한을 각각 계산하는 데에는 익숙했다. 식의 형태가 바뀌는 지점도 표시할 수 있었지만, 6월·9월 모의평가형 문제를 시간 안에 풀 때는 한쪽 계산이 끝나면 곧바로 극한이 존재한다고 확정하는 경향이 남아 있었다.
시험 후반에 발생한 오답
문제에서 특정 점의 함수값과 연속조건을 묻자 먼저 그 점의 왼쪽 식에 대입해 좌극한을 구했다. 값이 깔끔하게 나오자 우극한 계산을 생략한 채 극한값을 정하고, 그 값을 실제 함수값과 같게 만드는 조건을 세웠다. 그러나 오른쪽 식으로 접근하면 다른 값으로 수렴했기 때문에 실제로는 극한이 존재하지 않았다. 좌극한과 우극한을 따로 구할 수 있으면서도 두 값을 비교하지 않은 것이 최초 오류였다.
이후 연속조건을 구하는 과정에서도 극한값과 해당 점에서의 실제 함수값을 같은 대상으로 취급했다. 함수값만 맞추면 연속이라고 판단하면서, 좌우에서 같은 값으로 접근하는지와 함수가 그 점에서 정의되어 있는지를 분리하지 못했다. 접선 개수 문제에서도 이와 비슷하게 식의 계산 결과만 보고 곡선의 형태가 바뀌는 지점을 확인하지 않는 모습이 나타났다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
학교 프린트의 기본 조각함수 문제에서는 좌극한과 우극한을 각각 구할 수 있다. 다만 시험 후반에 시간이 부족하거나 조건이 한 번에 여러 개 제시되면, 먼저 계산한 좌극한을 전체 극한처럼 사용한다. 따라서 광양고등학교 고3수학과외에서는 계산 능력보다 극한의 존재 여부, 실제 함수값, 연속조건을 순서대로 확정하는 판단을 훈련한다.
좌극한과 우극한이 같은가 → 그 공통값이 극한값인가 → 실제 함수값이 정의되어 있는가 → 세 값이 모두 같은가
조건을 바꾸어 다시 적용한 과정
수정할 때는 문제의 경계점 아래에 좌극한, 우극한, 함수값을 나란히 적게 했다. 먼저 왼쪽 식과 오른쪽 식을 따로 계산하고, 두 결과가 다르면 그 자리에서 ‘극한 존재하지 않음’이라고 표시하도록 했다. 두 값이 같을 때에만 공통값을 극한값으로 옮긴 뒤, 마지막에 실제 함수값과 비교해 연속조건을 세우게 했다.
그 다음에는 식의 계수와 경계점을 바꾼 새 모의평가형 문제를 제시했다. 학생은 이전처럼 좌극한만 계산하지 않고 양쪽 식을 모두 적은 뒤 그래프가 바뀌는 지점을 표시했다. 접선 개수와 연결된 문제에서는 기울기 조건을 먼저 세운 뒤, 해당 접점 주변에서 곡선의 형태가 어떻게 달라지는지 그래프로 교차검증했다.
이틀 뒤에는 풀이 흔적을 보지 않은 상태에서 같은 절차를 다시 수행하게 했다. 특히 좌극한과 우극한이 우연히 같은 경우에도 함수값을 별도로 확인하는지, 값이 다를 때 계산을 계속 밀어붙이지 않고 극한 부재를 즉시 판단하는지를 점검했다. 파이널 세트에서는 이 확인을 풀이 후반에도 유지하는 것을 기준으로 재검증했다.