광진구광남고등학교 고2수학과외, 매개변수에 따른 해의 개수 추적
광진구광남고등학교 고2수학과외에서 확인한 핵심 문제는 매개변수 문제를 풀 때 값을 하나 정해 계산한 뒤, 그 결과를 전체 조건처럼 받아들이는 풀이 습관이었다. 기본적인 식 정리와 계산은 가능했지만, 문자 하나의 변화에 따라 해의 개수와 그래프 위치가 달라지는 기준을 먼저 찾는 과정에서는 속도가 느렸다.
특정 값을 대입한 뒤 기준을 놓친 오답
학교 프린트 재풀이에서 교과서 심화예제와 숫자가 비슷한 매개변수 문제를 만났을 때, 이 학생은 매개변수에 특정 값을 먼저 넣고 방정식을 계산했다. 그 값에서 해가 두 개 나온 것을 확인한 뒤, 문제에서 요구한 ‘매개변수의 범위에 따른 해의 개수’를 해 자체를 구하는 문제처럼 처리했다. 그래프가 만나는 위치가 매개변수에 따라 이동한다는 점과, 접점이 생기는 기준값을 따로 조사하지 않아 일부 구간의 해의 개수를 잘못 적었다.
현재는 주어진 값이 고정된 매개변수 문제의 기본 계산은 가능하다. 그러나 해의 개수나 그래프의 위치가 변하는 기준을 묻거나, 학교 프린트의 문장 속 변화·비교·범위를 식과 부등식으로 옮겨야 하는 문제에서는 익숙한 계산 절차를 먼저 적용하는 경향이 남아 있다.
식·그래프·조건을 함께 확인하는 수정 과정
먼저 매개변수를 특정 값으로 대입하지 않고, 식을 그래프의 교점 문제로 바꾸어 어느 값에서 교점의 개수가 변하는지 구간을 나누게 했다. 기준값을 찾은 뒤에는 각 구간에서 대표값 하나씩을 대입하고, 실제 방정식의 해 개수와 그래프의 교점 개수를 표에 함께 기록했다. 계산 결과, 그래프의 위치, 원래 문제의 조건이 서로 일치하는지 대조하면서 최초로 판단이 어긋난 지점을 표시했다.
합성함수 문제에서는 문장에 나온 변화와 비교 대상을 먼저 구분했다. 입력값이 변한 뒤 어떤 함수가 적용되는지 화살표로 정리하고, 그 순서를 등식이나 부등식으로 옮긴 다음 함수의 범위 조건을 확인했다. 역함수 식을 만들 때도 일대일 대응 여부와 정의역·치역을 표로 작성해, 식만 뒤집고 적용 범위를 빠뜨리지 않도록 했다.
- 문제의 질문이 해인지 해의 개수인지 먼저 표시한다.
- 매개변수 기준값을 찾고 구간별 대표값으로 검증한다.
- 계산한 해와 그래프의 교점 수를 대조한다.
- 합성함수의 적용 순서와 문장 속 비교 조건을 식으로 옮긴다.
- 새 문제에서는 숫자와 매개변수 위치를 바꾸어 같은 검산 절차를 적용한다.
이후 숫자와 조건을 바꾼 문제에서는 특정 값을 바로 대입하지 않고 먼저 기준값과 구간을 나누었다. 해의 개수를 묻는 문제에서는 각 구간의 대표값을 계산한 뒤 그래프와 원래 조건을 다시 확인했고, 합성함수 문제에서도 문장의 변화 순서를 식으로 옮긴 후 필요한 검산 방법을 선택했다. 광진구광남고등학교고2수학과외 학습은 계산 결과만 맞히는 데서 벗어나 매개변수 조건과 함수 관계를 끝까지 교차검증하는 방향으로 이어지고 있다.