청계동중2수학과외, 경우의 수에서 중복과 누락을 줄이는 나열 훈련
청계동의 동탄2 생활권에는 동탄중학교와 청계중학교가 있고, 모아아파트 등 주거 공간과 학교가 함께 분포해 있다. 통학과 수행평가 일정이 겹치는 시기에는 문제를 오래 붙들기보다 풀이 순서를 안정적으로 만드는 연습이 중요하다. 같은 화성시의 기산중학교, 기안중학교, 남양중학교는 참고 학교일 뿐 청계동 소재 학교와는 구분해야 한다.
이번 학습의 중심은 중2 수학 경우의 수에서 선택 결과를 빠짐없이 세되, 같은 경우를 두 번 세지 않는 방법이다. 답의 숫자만 맞히는 것이 아니라 나열 기준을 세우고, 마지막에는 조건에 맞는지 독립적으로 확인하는 데 초점을 둔다.
나열을 시작하기 전에 기준부터 고정한다
예를 들어 A, B, C 세 명 중 회장과 부회장을 한 명씩 뽑는 문제에서 학생이 “A와 B, B와 A”처럼 적는다면 직책이 다른 경우인지 같은 모임인지 먼저 구분해야 한다. 회장과 부회장은 역할이 다르므로 A가 회장이고 B가 부회장인 경우와 B가 회장이고 A가 부회장인 경우는 서로 다른 경우다. 따라서 가능한 결과는 AB, AC, BA, BC, CA, CB로 6가지다.
반대로 두 명을 뽑아 한 조를 만드는 문제라면 AB와 BA를 따로 세면 중복이다. 학생은 문제의 동사를 읽고도 ‘순서가 있는 선택’인지 ‘순서가 없는 선택’인지 표시하지 않은 채 바로 숫자를 곱하는 행동을 보이기 쉽다.
실제 오답은 숫자보다 나열 구조에서 생긴다
수행평가 설명문이나 서술형 답안을 작성할 때 학생은 A를 포함한 경우를 먼저 적은 뒤, 다음 줄에서 B를 포함한 경우를 다시 적으면서 AB를 중복해서 기록한다. 또는 세 번째 대상을 빠뜨리고도 “총 4가지”라고 결론을 낸다. 질문을 받으면 어느 줄에서 빠졌는지 말하지 않고 “모르겠다”고만 하는 경우도 있다.
이때 오답 원인을 계산 실수로 묶지 않는다. 첫째, 순서의 의미를 해석하지 않은 개념 오류가 있는지 본다. 둘째, 나열 기준을 바꾸어 같은 결과를 반복한 중복 오류를 확인한다. 셋째, 특정 대상을 시작점으로 삼지 않아 결과를 빠뜨린 누락 오류를 구분한다. 넷째, 조건이 붙었을 때 조건을 제외한 결과까지 포함하는 조건 누락도 따로 표시한다.
풀이 종이에 ‘첫 번째 선택’을 남긴다
훈련할 때는 무작정 모두 적게 하지 않는다. 먼저 “첫 번째 자리에 A를 둔 경우”를 한 묶음으로 작성하고, 그 안에서 두 번째 선택을 적는다. 그다음 B, C 순서로 시작점을 옮긴다. 각 묶음 옆에는 해당 결과의 개수를 작게 적어 합계와 대조한다.
두 명을 뽑는 문제라면 AB를 쓴 뒤 BA를 다시 쓰지 않도록 알파벳 순서나 번호 순서를 정한다. 조건이 “A는 포함하지 않는다”라면 시작 전에 A를 지우고 남은 대상만 나열한다. “서로 다른 두 숫자로 두 자리 수를 만든다”처럼 순서가 있는 문제에서는 12와 21을 같은 것으로 처리하지 않도록 자리 위치를 표시한다.
막힌 줄만 다시 수행하는 것도 중요하다. 전체 풀이를 베끼지 않고, 누락된 묶음의 시작점을 찾아 그 묶음만 새로 만든다. 중복이 생겼다면 같은 대상을 다른 순서로 쓴 흔적에 괄호를 치고, 왜 하나만 남겨야 하는지 문장으로 적는다.
답을 구한 뒤 상황에 다시 넣어 확인한다
예를 들어 빨강, 파랑, 노랑 카드 중 서로 다른 두 장을 순서 있게 뽑는다면 첫 번째 카드가 빨강일 때 파랑·노랑 2가지, 파랑일 때 빨강·노랑 2가지, 노랑일 때 빨강·파랑 2가지이므로 모두 6가지다. 확인할 때는 6이라는 수만 바라보지 않고 각 결과를 R-B, R-Y, B-R, B-Y, Y-R, Y-B로 다시 적어 중복과 누락을 검사한다.
새 문제에서는 조건을 바꾼다. 네 명 중 회장과 부회장을 뽑되 특정 학생은 회장이 될 수 없다는 조건을 붙이거나, 세 자리 수를 만들되 0을 첫 자리에 놓을 수 없게 한다. 학생은 기존 답을 외워 쓰지 않고 첫 선택별 묶음을 다시 만든다. 마지막에는 각 결과가 원래 조건을 만족하는지 하나씩 읽는다. 숫자는 맞았지만 오래 걸렸다면 시간 손실로 기록하고, 다음 문제에서는 묶음별 개수부터 예측하게 한다.
서술형에서는 나열 근거를 문장으로 남긴다
“첫 번째 자리를 정한 뒤 남은 선택을 나누어 세었으므로 같은 경우를 반복하지 않았고, 각 시작점의 결과를 확인하여 누락도 없었다”처럼 기준을 적게 한다. 경우의 수 답안에서 표나 수형도를 사용했다면 가지가 어디에서 갈라지는지 표시해야 한다. 단순히 “답은 6가지이다”라고 끝내면 확인 과정이 드러나지 않아 수행평가에서 설명이 부족해질 수 있다.
청계동 학생의 일정 속 적용 방법
동탄2 생활권에서 통학한 뒤 학교 과제와 수학 수행평가를 함께 준비하는 학생에게는 긴 문제집보다 짧은 독립 문제 세트를 활용한다. 첫 문제는 세 대상의 순서 있는 선택, 다음 문제는 순서 없는 조 만들기, 마지막 문제는 제외 조건이 있는 나열로 구성한다. 각 문제 사이에 풀이를 통째로 지우지 않고 중복·누락·조건 누락 중 하나를 표시하게 하면 짧은 시간에도 사고 과정을 확인할 수 있다.
자주 묻는 질문
경우의 수에서 표와 수형도 중 무엇을 써야 하나요?
대상의 수가 적고 순서가 분명하면 표나 목록으로 시작하고, 선택 단계가 늘어나면 수형도로 가지를 나누는 것이 좋다. 중요한 것은 방식보다 같은 기준으로 끝까지 나열하는 것이다.
곱셈으로 계산한 뒤 목록을 만들 필요가 있나요?
처음에는 필요하다. 곱셈 결과가 나열한 결과의 개수와 일치하는지 확인해야 중복과 누락을 발견할 수 있다. 익숙해진 뒤에도 조건이 붙은 문제에서는 일부 목록을 남기는 편이 안전하다.
답은 맞았는데 풀이 시간이 오래 걸리면 어떻게 하나요?
각 시작점의 결과 개수를 먼저 예상하고, 나열 뒤 실제 개수와 비교한다. 시간이 줄었는지뿐 아니라 조건을 바꾼 새 문제에서도 같은 기준을 유지하는지를 함께 확인한다.