봉담읍고2수학과외, 적분값과 넓이를 가르는 구간·부호 판단
봉담고등학교, 와우고등학교, 화담고등학교가 있는 봉담 생활권에서는 귀가 후 학교 프린트의 풀이를 그대로 반복하기보다, 한 식이 무엇을 의미하는지 확인하는 과정이 중요하다. 특히 적분 단원에서는 미분과 적분의 역관계를 알고 있어도 적분 구간과 부호를 빠뜨리면 값과 넓이를 전혀 다르게 적게 된다.
원시함수의 상수항을 임의로 정할 수 없는 이유
다음 조건을 살펴보자.
f′(x)=3x²−4x+1
이를 적분하면
f(x)=x³−2x²+x+C
이다. 여기서 초기조건, 예를 들어 f(1)=2가 주어지지 않았다면 C의 값을 하나로 정할 수 없다. 그런데 풀이 중 학생이 f(x)=x³−2x²+x라고 적고 C=0으로 확정했다면, 이는 계산 오류라기보다 주어진 조건보다 많은 것을 결론 내린 경우다.
다만 두 함수값의 차이는 C와 무관하다.
∫₀¹ f′(x)dx=f(1)−f(0)
실제로
f(1)−f(0)=(1−2+1+C)−C=0
이므로 적분값은 0이다. 이때 필요한 것은 원시함수의 상수항을 정하는 일이 아니라, 적분 구간의 양 끝값을 대입하는 일이다.
정적분값 0과 그래프의 넓이 8/27은 다르다
위 식의 부호를 확인하면
3x²−4x+1=(3x−1)(x−1)
이다. 따라서 0≤x≤1에서 x=1/3을 기준으로 부호가 바뀐다. 0≤x≤1/3에서는 양수이고, 1/3≤x≤1에서는 음수이다.
그러므로
∫₀¹(3x²−4x+1)dx=0
이지만, x축과 그래프 사이의 넓이는 부호를 없애 구간을 나누어 계산해야 한다.
∫₀¹ᐟ³(3x²−4x+1)dx−∫₁ᐟ³¹(3x²−4x+1)dx
원시함수 F(x)=x³−2x²+x를 사용하면 F(0)=0, F(1/3)=4/27, F(1)=0이므로
4/27−(−4/27)=8/27
이다. 정적분값은 양의 부분과 음의 부분이 상쇄된 결과이고, 넓이는 각 부분을 모두 양수로 합친 값이다.
오류가 시작된 줄에서 이어서 고치는 훈련
재풀이할 때 처음부터 모든 계산을 반복하지 않고, 학생이 C=0이라고 정한 줄에서 멈춘다. 그 줄을 다음처럼 바꿔 적는다.
f(x)=x³−2x²+x+C, C는 초기조건이 없어 결정하지 않음
그다음 문제에서 요구한 것이 넓이인지 정적분값인지 표시한다.
- 정적분값: ∫ₐᵇ f′(x)dx=f(b)−f(a)
- 넓이: 함수의 부호를 확인하고 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나눔
이 문제에서는 (3x−1)(x−1)=0에서 x=1/3을 경계로 적은 뒤, 정적분값과 넓이를 각각 계산해야 한다.
조건을 바꾸었을 때 존재하지 않는 값을 제거하기
다음 문제를 별도로 확인한다.
g′(x)=2x−3, g(0)=1, g(2)=0
미분과 적분의 역관계에 따르면
g(2)=g(0)+∫₀²(2x−3)dx
이고,
g(2)=1+[x²−3x]₀²=1+(−2)=−1
이다. 따라서 주어진 g′(x)와 g(0)=1을 만족하는 함수라면 g(2)는 반드시 −1이어야 한다. 제시된 g(2)=0은 함께 성립할 수 없는 조건이므로 답으로 채택하지 않는다.
새 조건에서도 적분 구간을 먼저 쓰고, 정적분값인지 넓이인지 구별하며, 초기조건으로 결정되지 않는 상수항은 남겨 두는지를 확인해야 한다.