미사동중1수학과외, 상대도수를 실제 인원수로 읽는 그래프 오답 바로잡기
“상대도수가 0.4이므로 학생 0.4명이에요.”
중1 자료해석에서 자주 나타나는 오류다. 상대도수는 실제 인원수가 아니라 전체 자료에서 특정 값이 차지하는 비율이다. 미사동중1수학과외에서는 표의 수치와 그래프의 높이를 단순히 읽는 데서 멈추지 않고, 실제 인원수와 비율을 구분해 서술하는 과정까지 확인한다.
표의 숫자를 먼저 ‘자료의 종류’로 구분하기
예를 들어 어느 반 학생 25명의 하루 독서 시간을 조사한 결과가 다음과 같다고 하자.
- 1시간 미만: 5명
- 1시간 이상 2시간 미만: 10명
- 2시간 이상: 10명
‘1시간 미만’의 도수는 5명이다. 상대도수는 도수인 5를 전체 인원 25로 나눈 값이므로 0.2이다.
따라서 “1시간 미만인 학생의 상대도수는 0.2이다”는 맞지만, “학생 수가 0.2명이다”는 틀린 표현이다. 실제 인원수를 묻는다면 도수 5명을 답해야 하고, 전체가 40명으로 바뀌면서 상대도수가 0.2라면 인원수는 \(40×0.2=8\)명으로 달라진다.
그래프를 보고 바로 숫자를 말하지 않는 이유
상대도수 그래프를 볼 때 학생이 반복하는 행동은 막대의 높이를 실제 인원수처럼 읽는 것이다. 세로축에 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4가 표시되어 있는데도 막대가 0.4까지 올라가면 “4명”이라고 말한다. 또 도수분포표의 도수와 상대도수를 한 칸씩 옮겨 적은 뒤, 그래프의 세로축 단위는 확인하지 않는다.
이때 먼저 그래프의 세로축 이름과 단위를 네모로 표시한다. 세로축이 ‘상대도수’이면 비율을 읽고, ‘도수’이면 인원수를 읽는다. 그다음 가로축의 구간을 확인한다. 예를 들어 ‘10점 이상 20점 미만’이라는 구간의 막대가 0.32라면, 전체 25명일 때 실제 인원수는 \(25×0.32=8\)명이다. 상대도수의 합은 1 또는 100%가 되어야 하므로 표의 각 값을 더해 누락이나 옮겨 적기 오류도 확인한다.
한 중1 학생의 풀이를 바꾸는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 다음 문제에서 오답이 나왔다고 하자.
어느 반 30명의 통학 시간을 조사한 결과, 20분 이상 30분 미만인 학생의 상대도수는 0.3이다. 이 구간의 학생 수를 구하여라.
학생은 “상대도수가 0.3이므로 0.3명”이라고 썼다. 처음에는 이를 단순 계산 실수라고 표시했지만, 실제 원인은 문제에서 구할 값과 주어진 값을 나누지 않은 데 있었다. 학생은 보이는 숫자를 식에 넣기 전에 다음 세 칸을 작성한다.
- 전체 학생 수: 30명
- 주어진 값: 상대도수 0.3
- 구할 값: 해당 구간의 도수
상대도수는 도수÷전체도수이므로, 도수는 전체도수×상대도수이다. 따라서 \(30×0.3=9\)명이다. 서술형 답안은 ‘해당 구간의 학생 수는 \(30×0.3=9\)명이다. 상대도수에 전체 학생 수를 곱해 도수를 구했다.’처럼 식, 사용한 조건, 결론으로 나누어 적는다.
중간식과 근거를 남기는 훈련
계산 속도는 빠르지만 중간식을 생략하는 학생은 맞힌 문제에서도 오류 위치를 찾기 어렵다. 그래서 표나 그래프 문제마다 다음 순서를 고정해 적는다.
- 전체 자료의 개수를 표시한다.
- 도수인지 상대도수인지 단위에 동그라미 친다.
- 구하는 값에 따라 나눌지 곱할지 결정한다.
- 계산 후 상대도수의 범위가 0 이상 1 이하인지 확인한다.
- 답에 명, 명이 아닌 비율, % 중 무엇을 써야 하는지 점검한다.
서술형에서는 답안 옆에 ‘조건 사용’, ‘식’, ‘결론’ 체크칸을 만든다. 그래프의 막대만 보고 결론을 쓰지 않고, “전체 30명 중 상대도수가 0.3인 구간이므로 9명이다”처럼 표와 계산의 연결을 문장으로 남긴다. 도형 그림에 조건을 옮겨 적듯이 그래프 문제에서도 가로축 구간과 세로축 단위를 문제 옆에 다시 표시하는 방식이다.
다음 날과 변형 문제에서 확인할 기준
같은 예제를 바로 다시 맞히는 것만으로는 독립 적용을 확인하기 어렵다. 다음 날에는 전체 인원을 40명으로 바꾸고 상대도수를 0.25로 제시한다. 학생이 \(40×0.25=10\)명이라고 구한 뒤, 왜 곱했는지 설명하는지 본다.
그다음에는 표 대신 그래프를 제시하고 세로축을 0.1 간격으로 바꾼다. “상대도수가 가장 큰 구간”을 묻는 문항과 “그 구간의 실제 인원수”를 묻는 문항을 구분하게 한다. 불필요한 정보로 전체 학생 수와 일부 구간의 도수를 함께 넣었을 때도 필요한 값을 골라야 한다.
일주일 뒤에는 서술형 조건을 추가한다. 예를 들어 “상대도수가 0.2 이상인 구간의 학생 수의 합을 구하고 계산 근거를 쓰시오”와 같이 출제한다. 학생이 각 구간의 상대도수를 먼저 비교하고, 전체 인원과 곱한 뒤, 합산 과정을 남기면 학습 목표에 도달한 것으로 본다. 최종 관찰 기준은 현행 문제와 변형 문제의 순서를 스스로 조정하고, 자료의 종류·계산식·결론을 도움 없이 연결하는지 여부다.
미사동은 하남 미사강변 생활권으로, 제공된 자료에는 미사가람마을과 미사2단지, 미사강변17단지 등이 확인된다. 해당 지역명 주소의 중학교는 확인되지 않으므로 학교별 특성을 단정하지 않고, 같은 하남시의 감일백제중학교·감일중학교·남한중학교·덕풍중학교·동부중학교 등은 통학권 참고 자료로만 구분해 본다. 실제 학습 계획은 학교별 시험범위와 학생의 주간 일정에 맞춰 상대도수 단원의 표·그래프·서술형 적용을 중심으로 조정한다.