포천중1수학과외, 전개도 숫자보다 먼저 구할 것을 읽는 지필·수행평가 학습
“전개도에 6, 6, 4가 있으니 겉넓이는 6×6×4로 계산하면 되죠?”
입체도형 전개도 문제에서 이런 답이 나오는 이유는 계산을 못해서만은 아니다. 문제에서 무엇을 구하라고 했는지 읽기 전에 눈에 먼저 들어온 숫자를 조합하기 때문이다. 중1 수학에서는 같은 전개도라도 겉넓이, 한 면의 넓이, 모서리의 길이, 필요한 색칠 부분처럼 요구사항이 달라질 수 있다. 교과서와 학교 프린트가 표현을 다르게 바꾸면 숫자를 찾는 것보다 질문의 대상을 구분하는 일이 먼저 필요하다.
전개도를 보자마자 계산하는 풀이
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 직육면체 전개도에 가로 6cm, 세로 4cm, 높이 3cm가 표시되어 있고 “전개도의 넓이를 구하시오”라는 문장이 제시된다. 학생은 문제의 마지막 말을 확인하지 않고 6×4×3을 계산해 72㎠라고 쓴다. 그러나 6×4×3은 직육면체의 부피를 구하는 계산이며, 전개도의 넓이 또는 직육면체의 겉넓이를 구하는 식이 아니다.
이때 오답 원인을 단순히 ‘계산 실수’라고 적으면 다음 문제에서도 같은 행동이 반복된다. 정확한 원인은 문제를 끝까지 읽지 않았고, 그림의 숫자를 구할 값과 연결하는 표시가 없었다는 데 있다. 답안지에는 숫자와 계산 흔적은 남아 있지만, 어떤 양을 구하려 했는지는 나타나지 않는다.
계산 전에 남기는 세 가지 흔적
먼저 문제 문장에서 구할 것을 네모로 표시한다. “겉넓이”, “부피”, “색칠한 부분의 넓이”처럼 대상이 다르면 같은 숫자를 보고도 식이 달라진다. 다음으로 주어진 수치에는 동그라미를 치되, 각각이 가로인지 세로인지 높이인지 그림에 직접 적는다. 마지막으로 단위를 확인한다. 길이는 cm, 넓이는 ㎠, 부피는 ㎤로 나타나므로 단위가 계산 대상과 맞는지 살핀다.
예를 들어 가로 6cm, 세로 4cm, 높이 3cm인 직육면체의 겉넓이를 묻는다면 한 면만 계산하고 끝내지 않는다.
겉넓이 = 2×(6×4 + 4×3 + 3×6)
6×4=24, 4×3=12, 3×6=18이므로 겉넓이는 2×54=108㎠이다. 반면 부피를 묻는다면 6×4×3=72㎤이다. 숫자가 같아도 문제의 요구사항에 따라 계산식과 단위가 달라진다는 점을 풀이 첫 줄에 드러내야 한다.
전개도에서는 면의 개수와 모양도 확인한다. 정육면체 전개도라면 같은 크기의 정사각형 6개가 연결되어 있으므로 한 면의 넓이에 6을 곱할 수 있다. 직육면체 전개도라면 서로 마주 보는 세 쌍의 직사각형이 있으므로 서로 다른 세 면의 넓이를 더한 뒤 2를 곱한다. 그림을 접어 보지 않고 보이는 숫자만 곱하면 전개도가 나타내는 면의 관계를 놓치게 된다.
수행평가 주간과 지필 복습을 분리하는 이유
수행평가 작업이 있는 주에는 전개도 만들기, 면 번호 붙이기, 접었을 때 만나는 면 확인하기처럼 손으로 처리하는 시간이 필요하다. 이 작업을 한 날에 지필 문제까지 길게 배치하면 학생은 수행평가를 마친 뒤 피로한 상태로 문제를 대충 읽게 된다. 반대로 수행평가 작업 시간과 지필 유지문제 시간을 분리하면, 전개도에 남긴 흔적을 다음 학습에서 식과 검산으로 연결할 수 있다.
예를 들어 월요일에는 전개도의 각 면에 ①부터 ⑥까지 번호를 붙이고, 접었을 때 서로 만나는 면을 확인한다. 수요일에는 숫자가 없는 전개도에 가로·세로·높이를 표시하고, “겉넓이”와 “부피” 중 무엇을 묻는지 찾아 식을 세운다. 주말에는 처음 보는 프린트 문제를 제한 시간 안에 풀되, 계산 전에 구할 대상과 단위를 반드시 표시한다. 학교와 주거지 사이 이동시간이 긴 학생이라면 평일에는 10분 표시 훈련만 하고, 실제 계산과 검산은 주말의 긴 학습 시간에 배치하는 식으로 생활 리듬을 나눌 수 있다.
초등 계산 공백은 현재 문제에 필요한 만큼만
전개도 문제에서 6×4, 4×3 같은 곱셈이 자주 틀린다면 초등 수학 전체를 다시 시작할 필요는 없다. 현재 풀이를 막는 곱셈 두 문제와 넓이 단위 변환 한 문제만 먼저 확인한다. 예를 들어 24㎠와 24㎤를 구별하지 못한다면 숫자 계산보다 단위가 나타내는 양을 짧게 복구한 뒤 곧바로 전개도 문제에 적용한다.
계산 과정에서 2×(24+12+18)을 2×54로 바꾸는 중간식을 생략하지 않게 한다. 괄호 안의 세 면을 모두 더했는지 확인하고, 마지막에는 겉넓이를 구한 경우 단위가 ㎠인지 역으로 점검한다. 학생이 도움 없이 문제의 요구사항을 표시하고, 필요한 면을 골라 식을 세운다면 해당 선수 복습은 종료할 수 있다.
다음 문제에서 순서를 스스로 정하는지 확인하기
같은 전개도 문제를 바로 다시 풀게 하는 것만으로는 읽기 습관이 바뀌었는지 알기 어렵다. 다음 검증에서는 숫자와 표현을 바꾼다. 처음에는 “직육면체의 겉넓이”라고 썼다면, 다음 문제에서는 “모든 면을 합한 넓이”라고 표현한다. 가로 5cm, 세로 2cm, 높이 4cm로 수치를 바꾸고, 전개도 그림의 방향도 회전시킨다. 학생은 누가 “먼저 표시해”라고 알려주지 않아도 구할 것, 주어진 값, 단위를 스스로 구분해야 한다.
또 다른 문제에는 “색칠한 두 면의 넓이”라는 조건을 추가한다. 이때 전체 겉넓이 공식으로 바로 가지 않고 색칠된 면만 찾아 5×2와 같은 식을 세우는지 본다. 오답이 나오면 정답만 고치지 않고 “문제의 요구사항을 읽지 않음”, “면의 종류를 구분하지 않음”, “단위를 확인하지 않음” 중 어느 줄에서 잘못되었는지 지목하게 한다.
일주일 뒤에는 처음 보는 학교 프린트 형식의 문제를 시간 제한 안에서 풀게 한다. 관찰할 기준은 맞힌 개수가 아니라 계산 전에 첫 행동을 스스로 정했는지, 전개도에 필요한 흔적을 남겼는지, 오류가 난 정확한 줄을 설명했는지이다. 포천시의 대표 중학교로 갈월중학교, 경북중학교, 관인중학교, 내촌중학교, 대경중학교, 동남중학교 등이 참고될 수 있지만, 학교와 주거지 사이 거리와 학생의 실제 일정은 서로 다를 수 있다. 따라서 수행평가와 지필 복습의 배치는 학교명만으로 정하지 않고 학생의 이동시간과 학습 가능 시간을 반영해 조정해야 한다.