비전동중2수학과외, 경우의 수를 빠짐없이 나열하는 연습
경우의 수 문제에서 막히는 학생은 계산을 못해서라기보다 첫 줄을 어떻게 시작할지 정하지 못하는 경우가 많습니다. 비전동의 중2 학생을 지도할 때도 친구의 선행 속도나 시험 직전의 불안 때문에 문제를 읽자마자 숫자를 적고, 떠오르는 경우를 순서 없이 나열하는 모습이 나타납니다. 그러나 경우의 수는 많이 적는 것보다 같은 기준으로 전체를 분류하는 일이 먼저입니다.
이번 학습의 중심은 문제 조건을 짧은 기호와 표로 옮긴 뒤, 목록·표·수형도 중 하나를 선택해 중복과 누락을 확인하는 것입니다. 다음 날 같은 문제를 다시 풀었을 때 정답만 맞히는 것이 아니라, 첫 접근에서 분류 기준을 스스로 세우는지까지 확인해야 합니다.
문제를 읽은 뒤 바로 숫자를 적지 않는 이유
예를 들어 티셔츠 3장 A, B, C 중 하나를 고르고, 바지 2장 검정, 청색 중 하나를 고르는 문제를 생각해 보겠습니다. 학생은 A-검정, A-청색을 적은 뒤 B와 C를 빠뜨리거나, A-검정을 다른 순서로 다시 적기도 합니다. 이때 “6가지”라는 답을 외우게 하면 다음 문제의 조건이 바뀌었을 때 다시 흔들립니다.
먼저 선택 순서를 고정합니다. 티셔츠를 먼저 고른다고 표시하면 A에서 검정·청색, B에서 검정·청색, C에서 검정·청색으로 가지가 뻗습니다. 따라서 3×2=6가지입니다. 학생이 해야 할 일은 식만 쓰는 것이 아니라 각 가지를 실제로 적어 보며 빠진 가지가 없는지 확인하는 것입니다.
비전동 학생에게서 확인되는 실제 행동
오답 장면에서는 수형도의 첫 갈래만 쓰고 다음 갈래를 생략하거나, A-검정과 검정-A처럼 순서가 다른 표현을 같은 종류로 보지 못하는 행동이 나타납니다. 어떤 학생은 “이미 센 것 같다”는 느낌으로 가지 하나를 지웠지만 왜 중복인지 설명하지 못합니다. 또 이전 문제에서 중복을 냈던 사실을 오답장에 남기지 않아 다음 날 같은 방식으로 다시 셉니다.
중2 후반에는 중3 진입 전 미완료 단원을 줄이려는 압박으로 새 문제집의 어려운 문제를 먼저 풀려는 경향도 생깁니다. 이때 경우의 수의 기본 구조가 정리되지 않은 상태에서 문제 수만 늘리면 정답률보다 누락과 중복의 흔적이 늘어납니다. 필요한 것은 전 범위 재학습이 아니라, 현재 문제를 막는 분류 기준을 짧게 확인하고 곧바로 새 조건에 적용하는 것입니다.
조건을 기호로 옮기고 가지마다 표시하기
첫 단계에서는 문제의 대상을 기호로 간단히 바꿉니다. 예를 들어 모자 2개를 M1, M2, 신발 3켤레를 S1, S2, S3으로 표시합니다. “모자 하나와 신발 하나”라는 조건을 M-S처럼 적고, 선택 순서를 모자→신발로 고정합니다. 수형도를 그린 뒤 각 가지 끝에 체크 표시를 남겨 실제로 센 항목을 표시합니다.
- 첫 번째 선택 대상과 두 번째 선택 대상을 위에 적는다.
- 첫 번째 대상의 모든 경우를 한 줄에 하나씩 나눈다.
- 각 가지에서 두 번째 대상의 경우를 빠짐없이 연결한다.
- 이미 적은 조합과 같은지 순서를 바꾸어 역검토한다.
- 전체 가지 수와 곱셈식의 결과가 일치하는지 확인한다.
조건이 “검은 신발은 M1 모자와 함께 고르지 않는다”처럼 제한될 때는 해당 가지에 X 표시를 합니다. 무조건 가지 수를 곱하지 않고, 제외되는 경우를 먼저 표시해야 합니다. 예를 들어 모자 2개와 신발 3개에서 특정 한 조합만 금지된다면 전체 6가지에서 금지된 1가지를 제외해 5가지가 됩니다. 금지 조건을 표시하지 않은 채 2×3만 계산하는 것은 계산 오류가 아니라 조건 누락입니다.
다음 날 재현하는 오답 훈련
복습은 같은 문제의 답을 다시 쓰는 방식으로 끝내지 않습니다. 첫날에는 수형도를 사용했다면 다음 날에는 표를 사용하게 합니다. 모자 M1, M2를 행에 놓고 신발 S1, S2, S3을 열에 배치해 각 칸에 조합을 적습니다. 수형도에서 6개였던 경우가 표에서도 6칸으로 나타나는지 비교합니다.
그다음 숫자와 조건을 바꿉니다. 모자 3개, 신발 2개로 바꾸고, M2와 S1의 조합을 제외합니다. 학생은 3×2=6에서 제외 조합 1개를 빼 5가지라고 설명해야 합니다. 단순히 5라는 숫자를 맞히는 것보다 M2-S1에 X를 표시하고 나머지 다섯 칸을 확인하는지가 중요합니다.
복습 종료 기준은 “전에 틀린 문제를 맞혔는가”가 아니라 “새 조건을 읽고 분류 기준을 먼저 세웠는가”입니다.
독립 적용과 수행평가형 검증
새 문제로는 네 명의 학생 중 회장 한 명과 부회장 한 명을 뽑는 상황을 제시할 수 있습니다. 이 문제는 순서가 있는 선택이므로 첫 번째 4가지, 두 번째 3가지로 4×3=12가지입니다. 반면 두 명을 대표로 뽑기만 한다면 순서를 구별하지 않아 6가지입니다. 학생이 두 상황을 같은 방식으로 세지 않는지 확인합니다.
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꿀 때는 “도서관에서 책 2권을 고른다”처럼 순서를 구별하지 않는 조건과 “1번 발표자와 2번 발표자를 정한다”처럼 순서를 구별하는 조건을 함께 제시합니다. 시간 제한도 둡니다. 학생은 문제의 핵심 조건에 밑줄을 긋고, 표나 수형도 중 하나를 선택한 뒤, 다른 방법으로 다시 세어 결과가 같은지 검증해야 합니다.
비전동동의 학교와 생활권 안에서도 통학 거리와 귀가 시간이 달라 실제 공부 가능 시간에는 차이가 있습니다. 비전중학교, 소사벌중학교, 평택여자중학교, 한광여자중학교, 한광중학교는 지역 내 중학교로 확인되며, 같은 평택시의 다른 학교 자료는 참고 범위로 구분해야 합니다. 따라서 매일 같은 분량을 요구하기보다 피곤한 날에는 수형도 한 문제를 정확히 재현하고, 여유 있는 날에는 표와 목록으로 교차 검증하는 식으로 조정합니다.
자주 묻는 질문
수형도와 표 중 무엇을 먼저 배워야 하나요?
가지가 눈에 보이지 않는 학생은 수형도부터 시작하고, 익숙해지면 표나 목록으로 다시 세게 합니다.
곱셈식을 바로 써도 되나요?
각 선택이 독립적으로 가능한지, 제한 조건이 없는지 확인한 뒤 사용해야 합니다. 조건이 있으면 먼저 제외되는 경우를 표시합니다.
중3 진입 전 모든 경우의 수 문제를 풀어야 하나요?
아닙니다. 현재 오답을 만든 중복·누락 유형을 새 숫자와 조건으로 바꾸어 독립적으로 해결하는 것이 우선입니다.