팔달구중3수학과외, 표준편차를 변형된 자료에서도 독립적으로 적용하는 연습
학생이 다음 자료의 표준편차를 구하면서 평균을 6으로 계산한 뒤, 편차를 그대로 더해 분산을 구하려는 장면이 있었다.
자료 2, 4, 6, 8의 평균은 6이다.
편차는 -4, -2, 0, 2이므로 편차의 합은 -4이다. 따라서 분산은 -1이다.
표준편차에서 막힌 위치는 계산 속도가 아니라 편차를 제곱해야 한다는 절차를 놓친 데 있다. 편차의 합은 자료가 평균을 중심으로 어떻게 흩어졌는지 보여 주는 값이 아니라, 양의 편차와 음의 편차가 서로 상쇄되는지 확인하는 값이다. 분산을 구할 때는 각 편차를 제곱한 뒤 평균을 내야 하므로 음수가 결과로 남을 수 없다.
편차의 합과 편차 제곱의 평균을 분리하기
같은 자료를 다시 적으면 평균은 5가 아니라 6이고, 각 자료의 편차와 제곱은 다음처럼 정리된다.
- 2-6=-4, (-4)²=16
- 4-6=-2, (-2)²=4
- 6-6=0, 0²=0
- 8-6=2, 2²=4
제곱한 편차의 합은 24이다. 자료가 전체 집단이라고 보는 중3 문제의 조건이라면 분산은 24÷4=6, 표준편차는 √6이다. 따라서 이 자료의 표준편차를 정수 6으로 쓰거나, 편차의 합 -4를 이용해 계산하는 것은 모두 다른 값이다. 학생에게는 공식을 외우게 하기보다 ‘각 자료가 평균에서 떨어진 거리의 부호를 없앤 뒤 평균을 낸다’고 말하게 했다.
평균을 먼저 맞혀도 풀이가 끝나지 않는 이유
처음에는 평균 6을 정확히 구했기 때문에 학생 스스로는 답을 거의 완성했다고 판단했다. 그러나 표준편차는 평균만으로 결정되지 않는다. 예를 들어 4, 5, 6, 9의 평균도 6이지만 편차는 -2, -1, 0, 3이고 제곱한 편차의 합은 14이다. 앞의 자료와 평균은 같아도 흩어진 정도가 다르므로 표준편차도 달라진다.
이 비교에서 학생이 해야 할 행동은 두 자료의 평균을 다시 구하는 것이 아니라, 평균 아래와 위에 있는 값의 차이를 각각 제곱하여 표로 놓는 것이다. ‘평균이 같으니 표준편차도 같다’는 설명은 자료의 위치를 보지 않은 판단이다. 표준편차는 중심이 같은 자료가 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 수치로 나타낸다.
숫자가 바뀌면 표를 새로 만드는가
팔달구에서 수업 시간을 정할 때에는 학교 수업과 방과후 이동 뒤 실제로 확보되는 자습시간을 먼저 확인한다. 대표 학교로 동성중학교, 매향중학교, 삼일중학교, 수원제일중학교, 수원중학교, 숙지중학교가 자료에 제시되어 있지만, 이를 매교동·우만동·인계동의 모든 학생이 같은 통학 동선을 가진다고 보지는 않는다. 우만3단지나 우만동4단지처럼 생활권에 따라 이동 시간이 달라질 수 있으므로, 수업에서는 학생이 귀가한 뒤 확보한 학습시간 자료를 직접 표로 만든다.
학생이 만든 다음 자료를 보자.
자습시간: 3, 3, 5, 7, 7분
학생은 값이 반복되자 최빈값 3을 평균처럼 사용하려 했다. 이때 표준편차 계산에 필요한 첫 행동은 자료를 크기순으로 배열하는 것이 아니라, 합을 자료의 개수로 나누어 평균을 확인하는 것이다. 평균은 (3+3+5+7+7)÷5=25÷5=5이다. 편차는 -2, -2, 0, 2, 2이고 제곱한 편차는 4, 4, 0, 4, 4이다. 분산은 16÷5, 표준편차는 √(16/5)이다. 반복되는 값이 있다는 사실은 표준편차의 계산 기준을 바꾸지 않는다.
새 조건에서 도움 없이 검산하기
다음 시간에는 자료의 개수와 값의 배치를 바꾸어 제시했다.
자습시간: 2, 4, 4, 6, 9
학생은 먼저 평균을 5로 구하고, 편차를 -3, -1, -1, 1, 4로 적었다. 이어 제곱한 편차를 9, 1, 1, 1, 16으로 바꾸어 합이 28임을 확인했다. 분산은 28÷5, 표준편차는 √(28/5)이다. 계산기를 사용하기 전에도 표준편차가 음수가 될 수 없고, 분산의 제곱근이므로 표준편차의 제곱은 분산이어야 한다는 검산을 적용했다.
이전 문제의 답을 기억해 쓰는 대신, 평균 표시, 편차의 부호, 편차 제곱, 제곱한 편차의 평균이라는 네 지점을 새 자료에서 다시 꺼냈다는 점을 확인했다. 표준편차 학습의 기준은 문제집의 진도가 아니라 자료가 달라졌을 때도 이 순서를 스스로 선택하는지에 있다.