와동동중1수학과외, 전개도에서 이웃한 면과 마주 보는 면을 구별하는 연습
“이 면을 접으면 위에 오니까 아마 마주 보는 면일 것 같아요.” 전개도 문제를 풀 때 자주 나오는 말이다. 하지만 전개도에서는 종이에 나란히 놓인 면과 입체로 접었을 때 서로 마주 보는 면이 다를 수 있다. 한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 도형에 적힌 길이와 각, 평행 조건을 표시하지 않은 채 그림 전체를 눈으로 기억하려고 하다가 면의 위치를 거꾸로 판단했다.
와동동에는 지산중학교와 한가람중학교가 있으며, 같은 파주시의 광탄중학교·교하중학교·금릉중학교는 참고 가능한 학교로 구분해야 한다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있으므로, 전개도 학습도 학교 이름만으로 정하기보다 현재 학교 프린트와 시험 범위, 오답이 발생한 장면을 기준으로 조절하는 편이 적절하다.
종이에 붙어 있는 면과 접은 뒤의 위치는 다르다
정육면체 전개도에서 한 면을 기준으로 주변 면을 따라 접으면, 기준 면과 직접 연결된 면은 입체에서 이웃한 면이 된다. 반면 전개도에서 떨어져 있거나 접는 과정에서 뒤쪽으로 돌아가는 면은 마주 보는 면이 될 수 있다. 따라서 “그림에서 가까워 보인다”는 판단만으로는 충분하지 않다.
예를 들어 정육면체 전개도의 면에 1부터 6까지 번호를 붙였다고 하자. 1번 면을 바닥으로 정하고, 1번과 변을 공유하는 면을 각각 접어 세운다. 그다음 1번과 직접 붙어 있지 않은 면이 어느 방향으로 돌아가는지 추적해야 한다. 이때 단순히 번호를 외우는 것이 아니라, 각 면이 어느 변을 중심으로 회전하는지 확인해야 한다.
오답은 ‘상상력 부족’보다 표시를 생략한 데서 시작된다
학생은 전개도 문제에서 길이와 각을 보고도 그림에 별도 표시를 하지 않았다. 면의 공통 변에는 같은 기호를 붙이지 않았고, 평행한 변도 표시하지 않았다. 접은 뒤 서로 만나는 면을 묻는 문제에서는 머릿속으로 한 번에 입체를 만들려 했다. 그러다 2번 면과 5번 면이 이웃한지 묻는 문제에서 두 면이 전개도상 떨어져 있다는 이유로 마주 보는 면이라고 답했지만, 실제 접는 방향을 추적하면 한 면이 다른 면의 옆으로 돌아가는 경우였다.
막힌 뒤에도 “모르겠어요”라고만 말해 어느 접는 단계에서 판단이 끊겼는지 설명하지 못했다. 이 상태에서는 어려운 문제를 더 많이 풀어도 같은 실수가 반복된다. 먼저 “3번 면을 기준으로 4번 면을 어느 변에서 접어야 하는지 모르겠다”처럼 막힌 위치를 한 문장으로 바꾸는 과정이 필요하다.
번호와 선으로 전개도를 입체로 바꾸기
첫 단계에서는 전개도의 각 면에 번호를 붙인다. 기준 면을 하나 정하고, 기준 면과 변을 공유하는 면에는 기준 면과 만나는 변을 표시한다. 면의 중심에 번호만 적는 것이 아니라, 공통 변의 양 끝점을 같은 기호로 표시하면 접은 뒤 어느 변이 만나는지 추적하기 쉬워진다.
둘째 단계에서는 기준 면을 바닥이라고 말로 고정한다. “1번을 바닥, 2번은 왼쪽 벽, 3번은 오른쪽 벽”처럼 한 면씩 방향을 표현한다. 네 면을 모두 한꺼번에 상상하지 않고, 기준 면에서 출발해 한 단계씩 접는다.
셋째 단계에서는 맞닿는 면을 선으로 연결한다. 전개도에 직접 선을 그어도 되고, 별도의 표에 ‘1번-2번 이웃’, ‘1번-5번 마주 봄’처럼 기록해도 된다. 단, 전개도에서 변을 공유하는 것과 접은 뒤 면 전체가 마주 보는 것은 구분해야 한다.
평면도형 공식은 기억하고 있어도 조건이 바뀌면 어떤 성질을 선택할지 흔들리는 학생이라면, 문제를 읽자마자 공식을 찾지 않도록 한다. 먼저 문제에서 요구하는 것이 이웃한 면인지, 마주 보는 면인지, 특정 모서리의 길이인지 표시한다. 그 후 필요한 면 번호와 공통 변만 골라 접는 순서를 작성한다.
시험 직전에는 문제를 세 묶음으로 나눈다
전개도 단원에서 모든 문제를 같은 속도로 풀려고 하면 피곤한 날 판단 오류가 커진다. 시험 직전 오답은 쉬움·보류·재확인으로 나눈다. 번호 표시 후 이웃한 면을 찾는 문제처럼 절차를 알고 바로 해결되는 문제는 쉬움으로 둔다. 접는 방향이 여러 번 바뀌거나 조건이 추가된 문제는 보류로 표시한다. 한 번 맞혔지만 그림을 눈으로만 판단한 문제는 재확인에 넣는다.
보류 문제를 만났을 때 오래 붙잡고 있지 않고, 전개도의 면 번호와 기준 면만 먼저 적는다. 3분 안에 접는 단계가 정리되지 않으면 표시를 남기고 다음 문제로 이동한다. 이후 재확인 시간에는 답만 보지 않고 어느 면을 기준으로 삼았는지, 어떤 변을 중심으로 접었는지를 다시 적는다.
다음 날과 조건 변경 문제로 확인하기
오답을 다음 날 다시 확인할 때 같은 전개도를 그대로 풀어 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 면 번호의 위치를 바꾸거나 전개도 배치를 회전시킨 문제를 사용해야 한다. 예를 들어 처음에는 1번 면을 기준으로 판단했다면, 다음 문제에서는 4번 면을 기준 면으로 정한다. 번호가 달라져도 기준 면과 이웃한 면을 찾고, 접은 뒤 마주 보는 면을 추적하는지 확인한다.
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어 조건을 추가할 수도 있다. “2번과 3번은 공통 변을 가진다”처럼 글로 제시된 조건을 전개도에 표시하게 하거나, 그림을 회전한 뒤 특정 면과 마주 보는 면을 쓰게 한다. 면의 모양이나 번호가 바뀌었는데도 같은 방식으로 판단한다면 독립 적용이 이루어진 것이다.
최종 확인에서는 답의 숫자나 면 번호만 맞는지 보지 않는다. 학생이 “기준 면을 정하고, 공통 변을 따라 접은 뒤, 반대 방향으로 돌아가는 면을 확인했다”고 설명할 수 있는지를 본다. 표현이 달라도 이웃한 면과 마주 보는 면을 구분하는 같은 개념으로 판단하고, 설명 없이 우연히 맞힌 경우에는 재확인 목록에 남긴다.