목동동 고3 수학과외: 공간도형에서 첫 오답 줄 찾기
운정고등학교가 있는 목동동에서 방과 후 이동 시간을 고려해 자습 시간을 확보하던 학생은 공간에서 직선과 평면의 관계를 풀 때 마지막 답만 고치는 습관이 있었다. 특히 내적을 계산한 뒤 평행과 수직 조건을 반대로 적용하는 것이 반복되었다.
내적 계산 뒤 관계를 잘못 판단한 풀이
직선 \(l\)과 평면 \(\Pi\)가 다음과 같이 주어졌다.
\[ l:(x,y,z)=(1,2,-1)+t(1,-1,2),\qquad \Pi:x+y+z=2 \]
직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터는 각각
\[ \vec d=(1,-1,2),\qquad \vec n=(1,1,1) \]
학생은 다음과 같이 적었다.
\[ \vec d\cdot\vec n=1-1+2=2\ne0 \] \[ \therefore l\perp\Pi \]
이 결론은 오답이다. 직선이 평면에 수직이 되려면 방향벡터 \(\vec d\)가 법선벡터 \(\vec n\)과 평행해야 한다. 즉 \(\vec d=k\vec n\)이어야 하는데, \((1,-1,2)\)는 \((1,1,1)\)의 상수배가 아니다. 내적이 0이면 직선과 평면이 평행할 가능성을 확인하고, 내적이 0이 아니라고 해서 곧바로 수직이라고 할 수 없다.
틀린 기호에서 다시 계산하기
학생은 오답표에서 마지막 결론만 지우지 않고, 처음 틀린 줄에 원을 표시했다.
\[ \boxed{\vec d\cdot\vec n=2\ne0\Rightarrow l\perp\Pi} \]
그다음 두 벡터의 관계를 따로 확인했다.
- 수직 조건: \(\vec d=k\vec n\)
- 평행 조건 확인: \(\vec d\cdot\vec n=0\)
- 현재 계산: \(\vec d\cdot\vec n=2\), 방향벡터도 법선벡터의 상수배가 아님
직선 위 점을 평면식에 대입하면
\[ x+y+z=(1+t)+(2-t)+(-1+2t)=2+2t \]
평면 위에서는 \(x+y+z=2\)이므로 \(2+2t=2\), 따라서 \(t=0\)이다. 교점은 \((1,2,-1)\)이고, 직선은 평면을 한 점에서 만난다.
마지막으로 \(t=1\)을 대입하면 직선 위 점 \((2,1,1)\)에서 \(x+y+z=4\)가 되어 평면 위 점이 아님을 확인했다. 계산 중 부호가 바뀐 \(-t\) 항도 따로 표시해 방향벡터가 \((1,-1,2)\)임을 재검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고 다음 두 직선의 관계를 확인했다.
\[ m:(x,y,z)=(2,-1,1)+s(2,1,-1) \]
\[ n:(x,y,z)=(0,1,3)+u(1,0,2) \]
방향벡터의 내적은
\[ (2,1,-1)\cdot(1,0,2)=2-2=0 \]
따라서 두 직선의 방향은 수직이다. 그러나 두 직선이 실제로 만나는지 확인해야 한다. 교점 조건을 세우면
\[ (2+2s,-1+s,1-s)=(u,1,3+2u) \]
두 번째 좌표에서 \(s=2\), 첫 번째 좌표에서 \(u=6\)을 얻지만 세 번째 좌표는 \(-1=15\)가 되어 모순이다. 따라서 두 직선은 만나지 않으며, 방향도 평행하지 않으므로 꼬인 위치이다.
내적이 0이라는 계산만으로 교점이나 평행을 단정하지 않고, 방향 관계와 위치 조건을 분리해 확인하는 것이 이 학생이 수정한 핵심 풀이 습관이다.