목동동고1수학과외, 유리함수 x절편을 분자 조건으로 찾는 풀이
운정고등학교에 다니며 통학과 방과 후 이동 뒤 짧은 자습시간을 활용하는 경우, 유리함수 문제에서 계산량보다 먼저 확인할 조건을 고정하는 연습이 필요하다. 같은 파주시의 지산고등학교, 동패고등학교, 한빛고등학교, 한민고등학교는 참고 학교이며 목동동 소재 학교와는 구분해야 한다.
그래프와 식이 만나는 지점
유리함수의 x절편은 그래프가 x축과 만나는 점이다. 함수값이 0이어야 하므로
f(x)=\(\dfrac{2x-6}{x+1}\)
에서는 분자가 0이 되는 조건을 먼저 세운다.
2x-6=0에서 x=3을 얻으므로 x절편은 (3, 0)이다. 다만 분모 x+1은 x=-1에서 0이 되므로 정의역에서 제외된다. 이번 예에서는 x=3이 제외값이 아니므로 실제 x절편으로 인정된다.
계산을 시작했지만 빠진 한 줄
학교 프린트 풀이에서 학생은
\(\dfrac{2x-6}{x+1}=0\) → \(x=3\) → x절편 (3, 0)
이라고 적었지만, 풀이 앞부분에 ‘x절편은 분자가 0인 조건에서 찾는다’는 판단을 쓰지 않았다. 오답을 고친 뒤에도 같은 실수의 원인을 기록하지 않아, 다음 유리함수 문제에서는 분모를 0으로 만드는 값까지 후보로 적는 장면이 나타났다. 이는 계산을 못하는 상태라기보다 x축과 만나는 조건을 식의 구조와 연결하지 못한 상태에 가깝다.
분자와 분모의 역할을 분리하기
예를 들어
g(x)=\(\dfrac{x^2-9}{x-3}\)
에서 분자를 0으로 두면 \(x=3\) 또는 \(x=-3\)이다. 그러나 x=3에서는 분모도 0이므로 함수가 정의되지 않는다. 따라서 x=3은 구멍이 생기는 제외값이고, 실제 x절편은 (-3, 0) 하나이다.
풀이에는 다음 두 줄을 분리해 적는다.
- 분자 조건: \(x^2-9=0\), 따라서 \(x=3,-3\)
- 정의역 조건: \(x-3\neq0\), 따라서 \(x\neq3\)
이 과정을 거치면 분자가 0인 후보와 실제로 함수에 대입할 수 있는 값을 혼동하지 않게 된다.
풀이 전후에 남기는 짧은 점검
문제를 풀기 전에는 여백에 “x절편: 분자=0, 분모≠0”이라고 적는다. 풀이가 끝난 뒤에는 구한 x값을 원래 함수의 분자와 분모에 각각 확인한다.
\(g(x)\)에서 \(x=-3\)을 대입하면 분자는 \(9-9=0\), 분모는 \(-3-3=-6\)이므로 함수값은 0이다. 반면 \(x=3\)은 분자도 0이지만 분모가 0이어서 대입할 수 없다. 학생이 오답 옆에 ‘분자 조건은 세웠지만 분모 제외값을 걸러내지 않음’이라고 기록하면, 단순히 정답만 고친 것이 아니라 빠진 판단을 확인한 셈이다.
조건이 바뀐 문제에서 확인하기
훈련 뒤에는 식을 반복하지 않고, 도형의 위치가 회전된 상황에서 필요한 수량만 골라 식을 세우는지 확인한다. 예를 들어 어떤 직사각형의 한 변의 길이를 \(x\), 다른 변을 \(\dfrac{12}{x-2}\)로 나타내고, 이를 90도 회전해 좌표평면에 놓았다고 하자. 넓이가 0이 되는 위치를 묻는다면 회전 자체의 방향이나 그림에 적힌 모든 수를 쓰지 않고, 넓이 식의 분자가 0이 되는 조건과 \(x\neq2\)라는 정의역 조건을 골라야 한다.
피곤한 날에는 새 유형을 늘리지 않고 이처럼 짧은 식의 분자 조건과 제외값 확인을 유지한다. 이후 회전된 도형에서 필요한 관계만 추려 \(A(x)=\dfrac{3x-15}{x+4}\)를 만들었다면, \(3x-15=0\)에서 \(x=5\)를 찾고 \(x=-4\)가 아닌지 확인하는지까지 스스로 설명하게 한다.