교하동 생활권 고3 수학과외: 평면의 관계를 가르는 법선벡터와 방향벡터
교하동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 교하고등학교·지산고등학교·동패고등학교 등 파주시 내 통학권을 참고해 학생의 이동 시간과 학습 리듬을 구분해 볼 수 있다. 신촌산업단지나 초롱꽃마을6단지 인근처럼 생활 동선이 다른 학생도 풀이에서는 공통적으로 평면의 조건을 식과 벡터로 분리해야 한다.
법선벡터가 평행하다는 말만으로는 부족하다
학생은 다음 두 평면의 관계를 묻는 문제에서 계산을 시작하기 전에 평행이라고 단정했다.
평면 \(P:x+2y-z=3\),
평면 \(Q:2x+4y-2z=10\)
학생의 답안은 다음과 같았다.
\(\vec n_P=(1,2,-1)\), \(\vec n_Q=(2,4,-2)=2\vec n_P\) 이므로 두 평면은 같다.
이 결론은 틀렸다. 법선벡터가 평행하면 두 평면은 서로 평행하거나 일치할 수 있지만, 법선벡터만으로 두 평면이 같은지 결정할 수는 없다. 두 번째 식을 2로 나누면
\[ Q:x+2y-z=5 \]
가 된다. \(P\)의 우변은 3이고 \(Q\)의 우변은 5이므로 두 평면은 같은 방향을 가지면서 서로 다른 위치에 있는 평행한 평면이다.
방향벡터와 법선벡터를 따로 확인하기
평면 \(P\)의 법선벡터는 \(\vec n=(1,2,-1)\)이다. 평면 위의 방향벡터 \(\vec u\)는 법선벡터와 내적이 0이어야 한다.
\[ \vec u=(1,0,1),\qquad \vec n\cdot\vec u=1+0-1=0 \]
따라서 \(\vec u\)는 평면 \(P\)와 나란한 방향이다. 또
\[ \vec v=(0,1,2),\qquad \vec n\cdot\vec v=0+2-2=0 \]
이므로 \(\vec v\) 역시 평면의 방향벡터가 될 수 있다. 반면 두 평면의 관계를 판단할 때 먼저 비교해야 하는 것은 방향벡터가 아니라 각 평면의 법선벡터이다.
- \(\vec n_Q=k\vec n_P\)이면 두 평면의 법선 방향이 같아 평행 또는 일치 가능성이 있다.
- 한 평면의 식을 상수배로 정리한 뒤 좌변과 우변이 모두 같으면 일치한다.
- 좌변의 계수만 같고 우변이 다르면 서로 다른 평행 평면이다.
- 법선벡터가 평행하지 않으면 두 평면은 교선을 갖는다.
오답 줄을 표시하고 조건을 대입해 수정하기
학생은 오답 줄에 밑줄을 긋고, “법선벡터 평행 → 같은 평면”이라는 연결이 잘못되었음을 표시했다. 이후 \(Q\)의 식 전체를 2로 나누어
\[ 2x+4y-2z=10 \quad\Longrightarrow\quad x+2y-z=5 \]
로 수정했다. \(P\) 위의 점 \((3,0,0)\)은 \(3+0-0=3\)을 만족하지만 \(Q\)에는 \(3\ne5\)이므로 속하지 않는다. 반대로 \(Q\) 위의 점 \((5,0,0)\)은 \(P\)에는 속하지 않는다. 두 평면이 서로 다른 위치임을 대입으로 재확인한 것이다.
이처럼 답안에서는 먼저 법선벡터의 배수 관계를 찾고, 그다음 상수항까지 같은 비율로 변하는지 확인해야 한다. 이동 시간이 긴 통학권 학생은 풀이 시간을 줄이려는 과정에서 첫 판단을 서둘러 이런 조건을 빠뜨리기 쉬우므로, ‘법선 비교 후 전체 식 정리’ 순서를 고정하는 것이 효과적이다.
계수를 바꾼 독립 검증
다음 문제로 같은 판단 과정을 다시 확인했다.
평면 \(R:2x-y+3z=4\),
평면 \(S:-4x+2y-6z=-10\)
법선벡터는
\[ \vec n_R=(2,-1,3),\qquad \vec n_S=(-4,2,-6)=-2\vec n_R \]
이므로 법선 방향은 평행하다. 그러나 \(S\)의 식을 \(-2\)로 나누면
\[ S:2x-y+3z=5 \]
가 된다. \(R\)의 우변은 4, \(S\)의 우변은 5이므로 두 평면은 일치하지 않고 서로 다른 평행 평면이다. 학생은 이번에는 법선벡터만 보고 결론 내리지 않고 상수항까지 확인해 정확히 판별했다.