교하동고1수학과외, 유리함수 그래프의 점근선을 식으로 확인하기
교하동의 주거지에서 학교나 학원까지 이동하는 시간이 학생마다 달라 학교 프린트를 당일 끝내는 방식도 달라질 수 있다. 그러나 이동 후 확보한 짧은 시간에 그래프의 위치만 외우면, 식으로 근거를 쓰라는 문항에서 오류가 드러난다.
y = k/(x - p) + q에서 부호를 읽는 기준
이 식에서 분모가 0이 되는 값을 찾으면 수직점근선을 결정할 수 있다.
x - p = 0이므로 x = p가 수직점근선이고, 분모가 매우 커질 때 k/(x-p)가 0에 가까워지므로 함수값은 q에 가까워진다. 따라서 수평점근선은 y = q이다.
예를 들어 y = 3/(x - 2) - 1에서는 점근선이 x = 2, y = -1이다. x = -2가 아닌 이유는 분모를 0으로 만드는 값이 -2가 아니라 2이기 때문이다.
그림은 맞게 옮겼지만 답안의 근거가 빠진 장면
교하동의 한 고1 학생은 y = 4/(x - 3) + 2의 그래프를 그리면서 세로선 x = 3과 가로선 y = 2를 표시했다. 하지만 풀이에는 “그래프는 점근선을 지나지 않는다”라고만 적고, 식으로 확인하는 과정을 남기지 않았다.
더구나 다음 문제에서 y = 5/(x + 4) - 2를 보고 수직점근선을 x = 4라고 적었다. 학생이 식을 다시 보지 않고 앞 문제의 모양을 기억해 부호를 바꾼 사례다.
점근선을 지날 수 없는 이유를 대입으로 적기
y = 4/(x - 3) + 2에서 x = 3을 대입하면 분모가 0이 된다.
4/(3 - 3) + 2 = 4/0 + 2
0으로 나눌 수 없으므로 x = 3에서는 함수값이 정의되지 않는다. 따라서 그래프는 수직점근선 x = 3 위의 점을 가질 수 없다.
수평점근선도 같은 방식으로 확인할 수 있다. y = 2라고 두면
2 = 4/(x - 3) + 2
0 = 4/(x - 3)
분자가 4이므로 이 식은 어떤 정의된 실수 x에서도 성립하지 않는다. 따라서 그래프는 수평점근선 y = 2도 지나지 않는다.
수정된 풀이 순서
- 분모를 0으로 만드는 값을 계산해 수직점근선을 구한다.
- 상수항을 확인해 수평점근선을 정한다.
- 각 점근선의 식을 원래 함수에 대입했을 때 정의되지 않거나 모순이 생기는지 적는다.
부호가 헷갈리는 식 y = -6/(x + 4) - 2에서는 x + 4 = 0이므로 수직점근선은 x = -4, 수평점근선은 y = -2이다. x = -4를 대입하면 분모가 0이고, y = -2를 대입하면 0 = -6/(x+4)이라는 모순이 생긴다고 설명해야 한다.
모양이 바뀐 문제에서 확인할 판단
검증할 때는 작도 순서를 섞어 제시한 문제를 사용한다. 예를 들어 점근선을 먼저 표시하지 않고 두 점을 찍게 하거나, 식을 그림으로 바꾸어 제시해도 x - p = 0과 y = q를 직접 찾아야 한다.
그래프의 위치가 달라져도 학생이 그림만 따라가지 않고 분모의 0 조건과 수평 이동값을 표시하는지 확인한다. 또한 풀이가 끝난 뒤 미완료된 수학 문제를 먼저 선택하는지 살펴보며, 시험 직전 새 교재를 펼치는 대신 근거가 빠진 점근선 문제를 마무리하는지를 관찰한다.