“평균이 6점이니까 대부분 6점 근처예요.” 처인구의 한 중3 학생은 다음과 같이 설명한 뒤, 자료에 제시된 값이 바뀌자 중앙값과 평균을 같은 방식으로 계산했다. 문제는 계산 속도가 아니라 표와 그림에서 무엇을 읽었는지 확인하지 않은 데 있었다. 통계 단원에서는 숫자 하나, 자료의 개수, 표현 방식이 달라져도 평균·중앙값·최빈값의 의미를 구분하고 결과를 다시 검산해야 한다.
처인구 중3수학과외, 통계표에서 계산 전 확인할 것
학생이 처음 본 자료는 다섯 학생의 문제 풀이 시간이었다.
12, 15, 15, 18, 25
학생은 평균을 구하면서 12+15+15+18+25를 80으로 계산해 16이라고 썼다. 합은 85이므로 평균은 17이다. 단순한 덧셈 실수처럼 보이지만, 풀이 과정을 살펴보니 자료를 한 줄씩 가리키며 개수를 세지 않고 머릿속으로 합산하고 있었다. 또 “가운데 값은 15”라고 적은 뒤 자료를 정렬하지 않은 다른 문제에도 같은 문장을 사용했다.
평균 17을 얻은 뒤에도 끝내지 않은 이유
평균은 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 값이다. 따라서 이 자료에서는
(12+15+15+18+25)÷5=85÷5=17
이 된다. 학생에게는 계산 결과만 지우게 하지 않고, 먼저 자료에 번호를 붙이게 했다. ①12, ②15, ③15, ④18, ⑤25처럼 개수를 눈으로 확인한 뒤 합을 계산하고, 마지막에 17×5=85인지 역검산하도록 했다. 평균이 실제 자료에 포함되지 않아도 될 수 있다는 점도 확인했다. 예를 들어 10, 10, 11, 20의 평균은 51÷4=12.75로 자료 중 어느 값과도 같지 않다.
반면 중앙값은 자료를 크기순으로 배열한 뒤 가운데에 놓인 값이다. 위 다섯 자료의 중앙값은 세 번째 값인 15이다. 자료가 네 개라면 가운데 두 값의 평균을 구한다. 8, 11, 14, 19의 중앙값은 (11+14)÷2=12.5이다. 학생은 “가운데 자료 하나를 고른다”라고만 기억하고 있었기 때문에, 자료 개수가 짝수인 순간 14를 답으로 적었다.
같은 자료라도 대표값의 역할은 달라진다
평균과 중앙값이 왜 달라지는지 확인하기 위해 다음 두 자료를 비교했다.
자료 A: 9, 10, 10, 11, 12
자료 B: 9, 10, 10, 11, 40
자료 A의 평균은 52÷5=10.4, 중앙값은 10이다. 자료 B의 평균은 80÷5=16, 중앙값은 여전히 10이다. 학생은 처음에 “40이 있으니 중앙값도 커져야 한다”고 말했지만, 중앙값은 크기순으로 배열했을 때 가운데 위치가 바뀌는지를 보는 값이다. 자료 B에서는 세 번째 값이 계속 10이므로 중앙값은 변하지 않는다. 반대로 평균은 모든 자료를 합산하므로 40의 영향을 크게 받는다.
이 장면에서 수정한 행동은 자료 옆에 ‘합에 반영되는 값’과 ‘위치로 결정되는 값’을 따로 표시하는 것이었다. 평균을 묻는 문항에는 합과 개수를 적고, 중앙값을 묻는 문항에는 먼저 정렬선을 그었다. 최빈값을 구할 때는 큰 수를 고르는 것이 아니라 가장 자주 나타나는 값을 세도록 했다. 자료 A와 B의 최빈값은 모두 10이다.
그림의 높이와 실제 자료 개수를 혼동하지 않기
막대그래프 문제에서는 학생이 세로축 눈금을 1씩 증가한다고 가정했다. 그러나 세로축 표시가 0, 5, 10, 15로 되어 있으면 막대 높이 하나의 눈금 간격은 5이다. 학생은 ‘월요일 3칸’을 3명으로 읽었지만, 실제 막대가 15를 가리킨다면 15명이다.
그래프를 읽을 때는 막대의 꼭대기만 보지 않고 세로축의 숫자 두 개를 먼저 연결하게 했다. 5와 10 사이가 한 칸이면 한 칸은 5, 두 칸이면 한 칸은 2.5처럼 눈금 간격을 계산해야 한다. 표에 적힌 합계와 그래프에서 읽은 값을 더해 비교하는 것도 유용하다. 네 요일의 이용자 수가 15, 10, 20, 5라면 합계는 50이어야 한다. 그래프에서 읽은 값의 합이 47이 되면 평균을 계산하기 전에 어느 막대를 잘못 읽었는지 되돌아가야 한다.
통학 뒤 확보한 짧은 시간에도 검산 순서를 고정하기
처인구에는 고림중학교, 고진중학교, 남사중학교, 도현중학교, 모현중학교, 백암중학교 등이 확인되지만, 이 학교들을 역북동·김량장동의 모든 학생이 같은 통학권으로 이용한다고 볼 수는 없다. 김량장동어울림아파트처럼 생활권 안의 주거지에서 학교나 학원, 귀가 동선이 학생마다 달라질 수 있기 때문이다. 그래서 수업은 장시간 문제 수를 늘리기보다 방과후 이동이 끝난 뒤 확보한 시간에 한 문항의 읽기와 검산을 완성하는 방식으로 진행했다.
학생이 귀가 후 처음 푼 문제는 다음과 같았다.
4, 7, 7, 8, 24의 평균과 중앙값을 구하여라.
학생은 평균을 10으로, 중앙값을 8로 적었다. 중앙값은 맞았지만 평균의 합을 50으로 잘못 더했다. 이번에는 자료를 줄 긋기로 다섯 칸에 나누고, 합을 4+7+7+8+24=50이 아니라 50?이라고 표시하는 대신 계산을 다시 묶어 (4+24)+(7+7)+8=28+14+8=50으로 확인했다. 실제 합은 50이므로 평균은 10, 중앙값은 7이다. 중앙값을 8로 쓴 것은 네 번째 값을 가운데로 착각한 오류였다. 자료가 다섯 개일 때 세 번째 값이 가운데라는 기준을 다시 표시했다.
숫자와 표현을 바꾼 독립 검증
다음 학습에서는 같은 숫자를 반복하지 않았다. 자료를 표가 아닌 문장으로 제시하고, 평균 대신 중앙값과 최빈값을 함께 물었다.
어떤 동아리의 참여 인원은 6명, 9명, 6명, 12명, 18명, 9명이다. 중앙값과 최빈값을 구하고, 평균과 비교하여 설명하여라.
학생은 도움 없이 6, 6, 9, 9, 12, 18로 정렬했다. 자료가 여섯 개이므로 중앙의 두 값 9와 9를 골라 중앙값을 9로 계산했고, 6과 9가 각각 두 번 나타나므로 최빈값은 6과 9라고 답했다. 평균은 60÷6=10이다. 이전처럼 무조건 하나의 최빈값을 고르지 않고, 최빈값이 둘일 수 있다는 조건까지 반영한 것이다.
마지막으로 그림의 눈금이 바뀐 새 자료를 제시했다. 세로축이 0, 10, 20, 30으로 표시된 막대그래프에서 한 막대가 2칸을 가리킬 때 학생은 20명이라고 읽었다. 이어 네 자료의 평균을 구한 뒤 평균×자료 개수가 전체 합과 같은지 확인했다. 정답을 외운 것이 아니라 눈금 확인, 자료 개수 세기, 정렬, 계산, 역검산의 첫 행동을 새 표현에서도 다시 꺼낸 것이다.