중원구중3수학과외, 최빈값을 고른 뒤에도 자료와 조건을 확인하는 법
가장 많이 나온 값을 적었는데도 답안이 끝나지 않는 이유
“4명이 선택한 점수가 12점이므로 최빈값은 4점이다.” 중원구의 한 중3 학생이 자료의 최빈값을 구한 뒤 적은 답안이다. 표에서 가장 큰 도수를 찾았다는 점은 맞았지만, 학생은 도수와 자료값을 바꾸어 적었다. 최빈값은 가장 많이 나타난 횟수가 아니라, 그 횟수에 해당하는 자료의 값이다.
예를 들어 다음은 어떤 활동 점수의 응답 자료다.
점수: 2, 3, 4, 5
학생 수: 1, 2, 4, 3
가장 큰 도수는 4이고, 그 도수에 대응하는 점수는 4이므로 최빈값은 4점이다. 학생이 쓴 ‘4명’은 자료값이 아니라 출현 횟수다. 답을 고친 뒤에도 바로 다음 문제로 넘기지 않고, “무엇이 반복되었는가?”를 문장으로 말하게 해야 한다. 이 한 문장이 식과 표를 제대로 읽었는지 확인하는 기준이 된다.
표의 오른쪽 숫자만 비교하던 풀이를 멈추기
처음에는 표의 도수 열에서 가장 큰 수에 동그라미를 치고 그 숫자를 답으로 옮겼다. 이 행동은 표의 열 제목을 읽지 않은 채 숫자의 크기만 비교한 결과다. 수정할 때는 계산량을 늘리지 않고 순서를 바꾼다. 먼저 ‘자료값’과 ‘도수’라는 열 제목에 각각 밑줄을 긋고, 가장 큰 도수에서 같은 행의 자료값으로 화살표를 그린다. 그다음 답안에 “점수 4가 4번으로 가장 많이 나타났다”라고 적는다.
이 과정에서는 최빈값의 뜻도 함께 확인한다. 최빈값은 자료에서 가장 자주 나타나는 값이다. 따라서 도수가 가장 크다는 사실만으로 답을 정할 수 없고, 그 도수가 어느 자료값에 붙어 있는지 찾아야 한다. 학생이 표를 옆으로 읽어 행의 대응 관계를 놓친다면, 자료값과 도수를 세로로 다시 배치해 같은 행끼리 묶어 보게 한다.
자료를 직접 나열했을 때도 같은 값을 찾는가
표가 아닌 나열 자료에서는 도수표를 마음속으로 만들어야 한다. 예를 들어 운동 시간에 대한 응답이 30, 40, 30, 50, 40, 30분이라면 30분은 세 번, 40분은 두 번, 50분은 한 번이다. 최빈값은 30분이다. 여기서 학생이 ‘세 번’이라고 쓰면 이전 오류가 반복된 것이다. 답을 쓴 뒤 자료 안에서 해당 값에 표시를 세 번 하게 하면, 횟수와 값의 역할을 분리할 수 있다.
반대로 2, 3, 4, 5가 각각 한 번씩만 나타난다면 최빈값이 없다고 판단해야 한다. 모든 자료값의 도수가 같기 때문이다. 학생이 무조건 가장 큰 자료값이나 가운데 값을 고르는 경우에는 ‘가장 자주’라는 조건에 해당하는 값이 있는지부터 확인하게 한다. 최빈값은 자료의 크기순 가운데 위치를 찾는 값이 아니며, 평균이나 중앙값을 계산하는 절차도 필요하지 않다.
맞힌 답에도 식과 조건을 붙여 검증하기
학생이 “최빈값은 7”이라고 정확히 답한 경우에도 풀이가 완성되었다고 보지 않는다. 다음 세 가지를 차례로 확인한다.
- 7이 실제 자료에 포함되어 있는가?
- 7의 출현 횟수가 다른 값보다 큰가?
- 가장 큰 도수에 대응하는 자료값을 답으로 옮겼는가?
예를 들어 자료가 5, 7, 6, 7, 8, 6, 7이라면 7은 세 번, 6은 두 번, 5와 8은 한 번이다. 따라서 최빈값 7은 타당하다. 학생에게 답 아래에 “7은 3번, 다른 값보다 많이 나타남”이라고 짧게 적게 하면, 우연히 정답을 고른 것인지 조건을 확인한 것인지 구별된다.
다만 최빈값이 여러 개일 수도 있다. 자료 2, 2, 3, 3, 4에서는 2와 3이 각각 두 번 나타나므로 최빈값은 2와 3이다. 이때 하나만 고르면 조건을 충분히 확인하지 않은 것이다. 자료 1, 2, 3, 4가 모두 한 번씩 나타나는 경우에는 최빈값이 없다고 써야 한다. 따라서 ‘답은 하나’라고 미리 정하지 않고, 가장 큰 도수를 가진 자료값을 모두 찾는 절차가 필요하다.
중원구 학생의 일정에 맞춘 확인 장면
중원구에는 금광중학교, 대원중학교, 도촌중학교, 동광중학교, 성남동중학교, 성남중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 금광동·은행동·여수동 학생 모두의 동일한 통학권이나 시험 일정으로 단정할 수는 없다. 금광시장이나 삼익아파트처럼 생활권에서 확인되는 장소도 학생의 실제 이동 시간과는 다를 수 있다. 그래서 학습 계획은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 먼저 확인해 조정한다.
예를 들어 귀가가 늦은 날에는 새로운 유형을 많이 풀기보다 학교 프린트의 도수표 한 문항을 골라 ‘큰 도수 찾기 → 대응하는 자료값 표시하기 → 출현 횟수 비교하기’만 말로 설명하게 한다. 시험 전날에는 정답을 맞힌 문제에도 표의 열 제목과 최빈값의 조건을 다시 표시한다. 학교마다 범위와 일정이 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 일반화하지 않고, 실제 받은 자료와 교과서 문항을 기준으로 확인한다.
숫자와 표의 모양을 바꾼 독립 검증
다음 시간에는 앞서 본 숫자를 기억해서 푸는 일을 막기 위해 자료의 형태를 바꾼다.
색상: 빨강, 파랑, 초록, 노랑
선택한 학생 수: 6, 4, 6, 2
학생은 먼저 가장 큰 도수 6을 찾은 뒤, 같은 열의 자료값이 빨강과 초록임을 확인해야 한다. 따라서 최빈값은 빨강과 초록이다. 여기서 ‘6명’이라고 답하거나 빨강 하나만 적으면, 대응 관계 또는 복수의 최빈값을 놓친 것이다.
마지막으로 “자료값을 한 개씩 나열하면 어떻게 확인할까?”라고 묻는다. 학생이 빨강 6회, 파랑 4회, 초록 6회, 노랑 2회라고 도움 없이 설명하고, 최빈값을 두 개 적는다면 개념을 새 조건에 적용한 것이다. 숫자가 바뀌어도 가장 큰 횟수 자체를 답하지 않고, 그 횟수에 대응하는 모든 자료값과 조건의 타당성을 확인하는지가 중3수학에서 최빈값을 제대로 이해했는지를 보여준다.