은행동중3수학과외, 평균·중앙값·최빈값을 조건에 맞게 고르는 연습
“자료의 대표값은 평균, 중앙값, 최빈값 중 하나를 구하면 되죠?” 은행중학교 학습 자료를 함께 보던 학생은 이렇게 말한 뒤, 다음 자료에서 곧바로 평균을 계산했다.
4, 5, 5, 6, 20
학생의 계산은 맞았다. 합계 40을 자료 수 5로 나누어 평균 8을 얻었다. 그러나 문제에서 “대부분의 학생이 실제로 걸린 시간에 가까운 대표값”을 묻고 있었다면 8분은 자료의 전형적인 모습을 잘 보여 주지 못한다. 이 장면에서 필요한 것은 계산 속도가 아니라 자료의 모양과 질문의 조건을 먼저 읽는 행동이다.
평균이 정확해도 대표값 선택은 틀릴 수 있다
학생은 평균을 구한 뒤 답안에 바로 표시했지만, 20이라는 큰 값이 다른 자료와 얼마나 떨어져 있는지는 살피지 않았다. 이처럼 평균은 모든 자료를 계산에 포함한다는 장점이 있지만, 한두 개의 지나치게 큰 값이나 작은 값이 있으면 값 전체가 그쪽으로 끌려간다.
같은 자료를 크기순으로 놓고 가운데 값을 찾으면 중앙값은 5이다. 4와 5 사이, 5와 6 사이에 자료가 각각 두 개씩 있어 가운데 위치가 5에 해당한다. “대부분의 자료가 어느 정도인가?”라는 질문에는 평균 8보다 중앙값 5가 더 적절할 수 있다. 평균이 틀린 계산이라는 뜻이 아니라, 질문이 요구한 대표성이 달라진다는 뜻이다.
문장보다 먼저 자료의 배열과 튀는 값을 확인하기
학생이 막힌 지점은 중앙값 계산법을 몰라서가 아니었다. 자료를 입력된 순서 그대로 읽고, 평균 공식을 먼저 꺼내는 습관이 문제였다. 중앙값을 구하려면 자료를 작은 값부터 큰 값까지 정렬해야 한다. 자료의 개수가 홀수이면 정확히 가운데 한 값, 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 구한다.
예를 들어 통학에 걸린 시간이 12, 8, 15, 10, 9, 46분이라면 먼저 8, 9, 10, 12, 15, 46분으로 배열한다. 가운데 두 값은 10과 12이므로 중앙값은 11분이다. 학생은 처음에 15를 가운데 값으로 골랐지만, 이는 입력 순서의 세 번째 값을 가운데 값으로 착각한 결과였다. 수정할 때는 식을 곧바로 쓰지 않고 자료 옆에 작은 번호를 붙여 정렬한 뒤, 가운데 위치를 표시하게 했다.
자료를 정렬하지 않은 상태에서는 중앙값을 고르지 않는다. 평균을 구하기 전에는 자료에 유난히 큰 값이나 작은 값이 있는지 살핀다.
최빈값은 ‘가장 많이 나온 값’이라는 조건에서만 사용한다
다음 자료를 제시하자 학생은 다시 평균을 택하려 했다.
검은색 3개, 파란색 7개, 빨간색 7개, 초록색 2개
이 문항은 색깔의 개수를 수치 자료처럼 더해 나누는 문제가 아니다. 가장 많이 나타난 항목을 묻는다면 최빈값은 파란색과 빨간색이다. 최빈값은 반드시 하나만 존재하는 것도 아니다. 가장 많이 나온 값이나 항목이 두 개라면 최빈값이 두 개이고, 모든 값의 출현 횟수가 같다면 최빈값이 없을 수도 있다.
학생은 “대표값은 하나”라는 설명을 외운 탓에 빨간색 하나만 적었다. 이를 고치기 위해 각 항목 옆에 출현 횟수를 적고, 같은 최대 횟수가 있는지 확인하도록 했다. 파란색과 빨간색이 각각 7회라는 것을 확인한 뒤에는 둘 다 답으로 써야 한다는 근거를 말하게 했다.
세 값의 쓰임을 한 표에서 비교하기
대표값을 고르는 순서는 계산 공식의 암기가 아니라 질문과 자료의 조건을 연결하는 방식으로 정리했다.
- 전체 자료를 빠짐없이 반영한 평균적인 크기를 묻고, 특별히 튀는 값이 없다면 평균을 검토한다.
- 자료를 순서대로 세웠을 때 가운데 위치의 값을 묻거나, 극단적인 값의 영향을 줄이고 싶다면 중앙값을 검토한다.
- 가장 자주 나타난 값이나 항목을 묻는다면 출현 횟수를 세어 최빈값을 찾는다.
다만 이 기준을 문장에 기계적으로 대입하지 않도록 “무엇을 대표해야 하는가?”를 먼저 적게 했다. 예컨대 한 반의 신발 사이즈에서 가장 많이 선택된 사이즈를 묻는다면 최빈값이 자연스럽다. 반대로 여러 사람의 점수를 모두 반영한 평균 점수를 요구하면 평균을 계산해야 한다. 자료의 종류와 질문의 표현이 함께 판단 근거가 된다.
은행동의 생활 장면을 자료 읽기로 바꾸기
은행동 현대아파트 등 생활권에서 자녀의 귀가 시각이나 과제에 걸린 시간을 기록할 때도 대표값 선택은 달라질 수 있다. 일주일 기록에 학원 행사로 유난히 늦은 하루가 포함되었다면 평균만 보고 평소 귀가 시각이라고 단정하기 어렵다. 먼저 기록을 정렬해 중앙값을 확인하고, 같은 시각이 반복되는지 살펴보는 편이 자료의 성격을 더 분명하게 보여 준다.
은행동 내 중학교로 확인된 학교는 은행중학교이며, 금광중학교·대원중학교·도촌중학교·동광중학교는 같은 중원구의 참고 학교로 구분해 볼 수 있다. 학교를 선택하거나 시험 난도를 추정하는 자료로 확대하기보다, 자녀의 실제 귀가 시각과 과제량을 기록하고 시험 준비 순서를 세우는 데 대표값 개념을 활용하는 것이 적절하다.
조건이 바뀐 새 자료에서 혼자 판단하기
마지막에는 앞에서 다룬 자료를 그대로 반복하지 않고 다음 문제를 제시했다.
7, 8, 8, 9, 10, 11, 38
“자료 전체의 평균적인 값을 구하라”는 질문에는 합계 91을 자료 수 7로 나누어 평균 13을 구한다. “극단적인 값의 영향을 덜 받는 가운데 위치의 대표값”을 묻는다면 정렬된 자료의 네 번째 값인 중앙값 9를 답한다. “가장 자주 나타난 값”을 묻는다면 8이 최빈값이다.
학생은 이번에는 숫자를 보자마자 공식을 고르지 않았다. 먼저 자료를 정렬했는지 확인하고, 38처럼 다른 값과 크게 떨어진 수를 표시한 뒤, 질문의 표현에 따라 평균·중앙값·최빈값을 나누어 제시했다. 세 값이 서로 다를 때도 정답 하나를 외워 고르는 것이 아니라, 어떤 값을 대표해야 하는지 설명할 수 있으면 새로운 대표값 비교 문제에도 독립적으로 접근할 수 있다.