학생이 “평균이 가장 크니까 이 자료가 가장 안정적이에요”라고 답한 순간, 여수동 중3수학과외 수업은 계산 확인에서 멈추지 않고 대표값의 의미를 다시 살피는 단계로 넘어갔다. 평균·중앙값·최빈값은 각각 계산법만 외우는 단원이 아니다. 자료의 개수, 이상하게 큰 값이나 작은 값의 존재, 같은 값이 반복되는 정도에 따라 어느 대표값이 적절한지가 달라진다.
평균을 구했는데도 자료 비교가 끝나지 않는 이유
학교 프린트에는 두 모둠의 자료가 제시되어 있었다.
A모둠: 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
B모둠: 3, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 18
학생은 두 자료의 평균을 각각 계산했다. A모둠의 합은 64이므로 평균은 8이고, B모둠의 합도 69이므로 평균은 8.625이다. 그런데 학생은 “B모둠의 평균이 더 크니 전반적으로 점수가 더 높다”고 바로 결론을 적었다.
여기서 틀린 지점은 평균 계산이 아니다. B모둠에는 3과 18처럼 다른 값과 크게 떨어진 자료가 포함되어 있다는 점을 확인하지 않은 채 평균만 비교한 것이다. 평균은 모든 자료를 더해 자료의 개수로 나누므로 극단적인 값의 영향을 받는다. B모둠의 평균이 8.625라고 해서 대부분의 자료가 A모둠보다 높다고 말할 수는 없다.
같은 자료에서 대표값을 나란히 확인하기
학생이 다음 줄부터는 자료를 먼저 크기순으로 배열하도록 했다. A모둠은 이미 정렬되어 있고, B모둠도 3, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 18로 정리되어 있다. 자료가 8개이므로 중앙값은 가운데 두 수의 평균이다.
A모둠의 중앙값은 (8+8)÷2=8이다. B모둠의 중앙값 역시 (8+8)÷2=8이다. 두 자료의 최빈값도 A모둠은 7, 8, 9가 각각 두 번씩 나타나고, B모둠은 7, 8, 9가 각각 두 번씩 나타나므로 하나로 정해지지 않는다.
따라서 이 자료에서는 평균만 보면 B모둠의 값이 더 커 보이지만, 중앙에 위치한 자료를 비교하면 두 모둠의 중앙값은 같다. 학생은 답안을 “B모둠은 18의 영향을 받아 평균이 높아졌으며, 중앙값은 두 모둠 모두 8이므로 대표적인 자료의 위치는 같다고 볼 수 있다”로 고쳐 썼다. 계산 결과에 자료의 성질과 조건을 덧붙인 것이다.
최빈값을 무조건 대표값으로 고르지 않기
다음 문항에서는 학생의 실수가 반대로 나타났다.
“다섯 명의 통학 시간은 20분, 20분, 20분, 35분, 50분이다. 가장 자주 나타나는 통학 시간을 구하라.”
학생은 20분을 적었고, 이 문항의 답 자체는 맞았다. 하지만 이어지는 “자료를 대표하는 값으로 평균과 최빈값 중 어느 것이 더 적절한지 설명하라”는 질문에는 “최빈값이 가장 자주 나오므로 항상 더 적절하다”고 썼다.
최빈값은 반복되는 자료의 경향을 보여 주지만, 자료 전체의 크기나 긴 통학 시간을 충분히 반영하지 못할 수 있다. 이 자료의 평균은 (20+20+20+35+50)÷5=29분이다. 실제 통학 시간을 계획하거나 전체 학생의 부담을 비교하려는 상황이라면 20분만으로 자료 전체를 설명하기 어렵다. 반대로 가장 많은 학생이 이용하는 통학 시간을 묻는다면 최빈값 20분이 적합하다.
수업에서는 학생이 대표값을 고르기 전에 문제의 목적에 밑줄을 긋게 했다. “가장 자주”, “자료 전체의 평균적인 크기”, “가운데에 위치한 값”은 서로 다른 질문이다. 최빈값은 빈도를, 평균은 전체 합과 개수를, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 위치를 나타낸다.
중앙값을 찾기 전 자료 개수부터 세기
학생은 홀수 개 자료에서는 가운데 값을 잘 찾았지만, 짝수 개 자료에서는 가운데 두 수 중 왼쪽 수만 적는 습관이 있었다. 예를 들어 5, 6, 8, 10, 12, 15의 중앙값을 8이라고 썼다. 자료가 6개이므로 세 번째와 네 번째 자료인 8과 10을 평균 내야 한다. 중앙값은 (8+10)÷2=9이다.
이 오답을 고치기 위해 ‘정렬-개수 세기-가운데 위치 표시-필요하면 두 값의 평균’이라는 네 칸을 답안 여백에 만들었다. 단순히 중앙값 공식을 다시 읽는 대신, 자료가 7개일 때와 8개일 때 표시 방법을 달리 직접 적게 했다. 자료의 개수가 바뀌면 중앙값을 찾는 행동도 바뀐다는 점을 눈으로 확인하는 방식이다.
여수동 생활권에서 필요한 자료 해석 연습
여수동 주소의 중학교는 제공된 자료에서 확인되지 않는다. 따라서 특정 학교의 시험 방식이나 학교별 난도를 여수동의 특징처럼 단정하지 않고, 같은 성남시 중원구의 금광중학교·대원중학교·도촌중학교·동광중학교·성남동중학교는 통학권 참고 자료로만 살핀다. 학부모 상담에서는 학교 이름을 비교하기보다 자녀의 귀가 시각 이후 실제로 과제를 처리하는 순서, 시험 전 대표값 문제를 읽는 시간, 계산 뒤 조건을 확인하는지를 점검하는 편이 직접적이다.
예를 들어 귀가 후 시간이 짧은 학생에게는 대표값 세 종류의 정의를 길게 쓰게 하기보다, 한 자료를 정렬하고 평균·중앙값·최빈값을 차례로 표시하게 한다. 이후 “이 자료에서 이상값의 영향을 덜 받는 값은 무엇인가”처럼 한 문장을 추가하여 계산과 해석을 연결한다. 과제량이 많은 날에는 새로운 문제를 여러 개 주기보다, 답을 고른 근거를 한 줄로 남기게 하여 풀이의 빈틈을 확인한다.
숫자와 질문이 바뀐 자료에서 독립적으로 확인하기
마지막에는 앞의 숫자를 가린 채 다음 자료를 제시했다.
자료 1: 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15
자료 2: 6, 13, 13, 14, 14, 15, 26
학생은 먼저 두 자료를 정렬하고, 자료의 개수가 7개임을 확인했다. 자료 1의 평균은 96÷7, 중앙값은 14이다. 자료 2의 평균은 101÷7, 중앙값은 역시 14이다. 최빈값은 두 자료 모두 13, 14, 15로 하나만 정해지지 않는다. 학생은 평균의 크기만 보고 자료 2가 더 대표적이라고 하지 않고, “6과 26이 평균에 영향을 주므로 두 자료의 전형적인 가운데 위치를 비교할 때는 중앙값 14를 함께 보는 것이 타당하다”고 설명했다.
이번에는 질문을 바꾸어 “가장 많은 학생이 선택한 값”을 묻자 학생은 최빈값이 여러 개라는 사실도 그대로 적었다. 대표값은 반드시 하나만 나온다고 가정하지 않고, 자료와 질문의 목적에 따라 해석해야 한다는 점을 새 조건에서 스스로 적용한 것이다.