여수동중1수학과외, 회전한 전개도에서 마주 보는 면을 다시 찾는 연습
전개도에서 ①번 면과 ②번 면이 선으로 이어져 있으니 서로 마주 보는 면이라고 답하는 학생이 있다. 그러나 전개도에서 선으로 맞닿은 두 면은 입체도형으로 접었을 때 서로 이웃한 면이다. 마주 보는 면은 직접 변을 공유하지 않는다. 이 차이를 눈으로만 기억하면 그림의 방향이 조금 바뀌는 순간 같은 문제도 낯설게 느껴진다.
여수동 주소에 해당하는 중학교는 확인되지 않았다. 따라서 금광중학교, 대원중학교, 도촌중학교, 동광중학교, 성남동중학교는 여수동 소재 학교가 아니라 같은 성남시 중원구의 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 이처럼 학교 선택을 단정하기보다 귀가 후 과제와 학교 프린트의 미완료 문제를 언제 확인할지 정하는 것이 전개도 학습 관리에 더 직접적인 도움이 된다.
그림을 보면서도 접힌 뒤의 관계를 놓치는 이유
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 여러 조건이 표시된 평면도형이나 전개도를 받았을 때 학생은 길이와 각을 도형에 적지 않고 머릿속으로만 기억한다. 처음 본 그림에서는 정답을 맞히기도 하지만, 다음 날 같은 오답을 다시 펼치면 어느 면이 기준면이었는지 설명하지 못한다. 주말에 미완료 문제가 몰리면 새 교재를 먼저 시작하고 학교 프린트의 전개도 문제는 뒤로 미루면서, 틀린 이유가 정리되지 않은 채 남기도 한다.
특히 정육면체 전개도에서 한 면을 기준으로 네 면이 둘레에 연결되어 있고 다른 한 면이 바깥쪽에 붙어 있다고 하자. 학생이 “붙어 있으니까 마주 보는 면”이라고 판단하면 이웃한 면과 마주 보는 면을 거꾸로 분류한다. 전개도를 접는 과정에서 실제로 변을 공유하는지, 접은 뒤 서로 반대편에 놓이는지를 구분해야 한다.
전개도에 번호를 붙여 접는 과정을 보이기
먼저 각 면에 ①부터 ⑥까지 번호를 붙인다. 다음으로 기준면을 ①로 정하고, ①과 선으로 이어진 면을 모두 표시한다. 선으로 직접 이어진 면은 접은 뒤 ①과 이웃한다. 이후 ①의 위쪽 면을 접고, 그 면에 이어진 다음 면을 차례로 접는다고 말하면서 위치를 추적한다.
이때 “이 면은 ①과 맞닿는가?”와 “이 면은 ①의 반대편으로 돌아가는가?”를 구분해 적는다. 맞닿는 관계는 선으로 연결하고, 마주 보는 관계는 별도의 표에 기록한다.
- 직접 변을 공유하는 면: 이웃한 면
- 접었을 때 서로 반대편에 놓이는 면: 마주 보는 면
- 기준면과 같은 위치로 돌아오는 면: 접는 순서를 다시 확인할 면
번호만 붙이고 끝내지 않도록, 접는 순서를 화살표로 표시한다. 예를 들어 ①에서 ②로, ②에서 ③으로 접히는 방향을 적으면 그림이 회전해도 어느 면이 이동했는지 확인할 수 있다. 실제 모형을 만들 수 있다면 면 번호를 종이에 써서 오려 접어 보는 것도 좋지만, 모형을 만들기 어려운 날에는 번호표와 화살표만으로 같은 과정을 설명하게 한다.
학교 프린트의 오답을 다음 날 다시 시작하는 방법
오답을 고칠 때 정답 그림을 그대로 베끼지 않는다. 첫째, 원래 전개도에 면 번호를 적는다. 둘째, 직접 맞닿는 면끼리 선으로 연결한다. 셋째, 기준면을 하나 정해 접는 방향을 화살표로 표시한다. 넷째, 마주 보는 면을 표에 적는다. 마지막으로 “왜 이 두 면은 이웃하지 않는가”를 한 문장으로 쓴다.
예를 들어 ③과 ⑤를 마주 보는 면이라고 판단했다면, “③과 ⑤는 전개도에서 선으로 직접 이어져 있지 않고, ①을 기준으로 접었을 때 반대편에 놓인다”처럼 근거를 적는다. 단순히 “정답은 ③, ⑤”라고 쓰면 그림이 바뀌었을 때 다시 눈대중에 의존하게 된다.
전개도 문제의 확인 순서: 면 번호 붙이기 → 기준면 정하기 → 접는 방향 표시하기 → 이웃한 면과 마주 보는 면 구분하기 → 이유를 문장으로 쓰기
회전한 그림과 조건을 바꾼 뒤의 독립 확인
수정 행동이 실제로 자리 잡았는지는 같은 그림을 바로 다시 풀어 맞혔는지로 판단하지 않는다. 다음 확인에서는 전개도를 90도 회전한 모양으로 제시하고, 기준면의 위치도 바꾼다. 처음 문제에서 위에 있던 면을 오른쪽에 놓거나, 바깥쪽에 붙은 면의 위치를 바꾼다. 학생은 새 그림에도 먼저 번호를 붙인 뒤 직접 맞닿는 면과 마주 보는 면을 다시 추적해야 한다.
조건을 하나 추가할 수도 있다. “①과 ④는 이웃한 면이고, ②와 ⑤는 마주 보는 면이다”라는 조건을 제시한 뒤, 다른 면의 관계를 찾게 한다. 이때 기존 그림의 위치를 외워 답하지 않고 조건과 접는 순서를 근거로 설명하는지 본다. 서술형 답안은 식에 해당하는 면 관계, 그 근거, 최종 결론을 각각 확인한다.
주말에 미완료가 많아졌다면 모든 문제를 한꺼번에 끝내려 하기보다 학교 프린트 전개도 한 문제를 번호 표시와 접는 화살표까지 완성한다. 다음 날 첫 문제를 도움 없이 시작해 면 번호를 정확히 붙이고, 일주일 뒤 회전한 그림에서도 이웃한 면과 마주 보는 면을 구분하면 해당 오답의 복습을 종료할 수 있다. 반대로 번호는 붙였지만 근거 문장을 쓰지 못한다면 그림을 기억한 것이므로 복습을 조금 더 이어가야 한다.