금광동중3수학과외, 최빈값 변형 문제에서 기준을 놓치지 않는 연습
“가장 많이 나온 값은 12이므로 최빈값은 12입니다.” 금광중학교 학생이 자료를 보고 적은 답은 여기까지였다. 원자료의 최빈값을 찾는 문제라면 맞을 수 있지만, 중3수학에서는 자료에 조건을 추가하거나 일부 값을 바꾼 뒤 최빈값의 변화를 묻는 문항이 자주 등장한다. 이때 필요한 것은 숫자 12를 기억하는 일이 아니라, 각 값의 출현 횟수를 다시 세고 새 조건이 어느 빈도에 영향을 주는지 확인하는 행동이다.
최빈값을 하나의 숫자로만 외우면 변형에서 멈춘다
예를 들어 자료가 다음과 같다고 하자.
8, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 14
학생은 12가 세 번 나왔다는 사실을 보고 최빈값을 12로 구할 수 있다. 하지만 “8을 12로 바꾸면 최빈값은 어떻게 되는가?”라는 질문에 같은 답을 그대로 쓰거나, 바뀐 자료를 다시 세지 않고 “12가 원래 최빈값이었으므로 그대로이다”라고 적는다면 풀이가 끝난 것이 아니다. 8을 12로 바꾼 뒤에는 12가 네 번 나오므로 최빈값은 여전히 12이지만, 그 근거는 달라졌다. 바뀐 자료를 직접 확인해야 한다.
반대로 “12 하나를 14로 바꾸면 최빈값은?”이라는 조건에서는 자료가
8, 10, 10, 11, 12, 12, 14, 14
가 된다. 10, 12, 14가 각각 두 번씩 나타나므로 최빈값은 하나로 정해지지 않는다. 이 장면에서 학생이 해야 할 일은 기존 정답을 유지하는 것이 아니라, 출현 횟수가 가장 큰 값이 여러 개인지 확인하는 것이다. 최빈값이 없다고 쓰는 것도 정확하지 않다. 가장 많이 나온 값이 둘 이상이면 최빈값은 10, 12, 14이다.
표시한 값보다 출현 횟수표가 먼저다
학생이 자주 하는 행동은 자료에서 눈에 띄는 숫자에 동그라미를 치고 바로 답을 쓰는 것이다. 특히 큰 수나 가운데에 놓인 값을 최빈값으로 착각하기도 한다. 이때 자료의 순서는 최빈값 판단 기준이 아니다. 먼저 값을 작은 순서로 배열하거나, 값별 출현 횟수를 짧게 적어야 한다.
- 8: 1회
- 10: 2회
- 11: 1회
- 12: 3회
- 14: 1회
변형 조건이 붙으면 바뀐 값의 횟수만 대충 조정하지 말고, 변경된 자료에서 필요한 값들의 횟수를 다시 기록한다. 예를 들어 “자료에 10을 두 개 추가한다”면 10의 횟수는 2회에서 4회가 된다. 12는 여전히 3회이므로 새 최빈값은 10이다. 학생이 해야 하는 수정 행동은 ‘최빈값을 다시 외우기’가 아니라 ‘추가·삭제·교체된 값의 빈도를 다시 세기’다.
같은 최빈값이어도 조건에 따라 설명이 달라진다
다음 두 문제는 답만 보면 모두 12와 관련되어 보인다.
첫 번째는 “자료에서 가장 많이 나타나는 값을 구하라”는 문제다. 이때는 출현 횟수가 가장 큰 값 12를 찾으면 된다. 두 번째는 “12를 제외한 자료의 최빈값을 구하라”는 문제다. 12를 제외하면 남는 자료는 8, 10, 10, 11, 14이므로 최빈값은 10이다. 학생이 ‘12가 최빈값’이라는 기존 답을 그대로 옮겼다면 제외 조건을 읽지 않은 것이다.
풀이를 고칠 때는 문제의 조건에서 ‘추가’, ‘제외’, ‘교체’, ‘이상’, ‘이하’ 같은 말을 먼저 표시한다. 그런 다음 실제 자료를 다시 적고, 값별 횟수를 비교한다. 조건을 표시하지 않은 채 계산부터 하면 숫자가 바뀐 문제에서 같은 실수가 반복된다.
최빈값은 눈에 잘 띄는 값이 아니라, 주어진 조건을 반영한 뒤 출현 횟수가 가장 큰 값이다.
중앙값과 섞지 않도록 자료의 역할을 구분하기
학생이 자료를 크기순으로 배열한 뒤 가운데 값을 최빈값으로 쓰는 경우도 있다. 크기순 배열은 중앙값을 구할 때 필요한 과정이고, 최빈값은 같은 값이 몇 번 나오는지를 세는 과정이다. 예를 들어 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8에서 가운데 값은 5이고 최빈값도 5이지만, 두 개념의 이유는 다르다. 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7에서는 중앙값은 4, 최빈값은 3이다. 답이 같거나 달라지는 것과 관계없이 산출 근거를 분리해 말할 수 있어야 한다.
금광동에서 금광시장이나 래미안금광아파트 생활권 주변의 통학·일상 자료를 활용해 수학 자료를 만들 때도 같은 원칙이 적용된다. 예를 들어 일주일 동안 버스를 이용한 횟수를 조사했다면, 가장 많이 나온 횟수가 최빈값인지, 중간에 위치한 횟수가 중앙값인지 구분해야 한다. 실제 지역 자료라고 해서 숫자의 의미가 자동으로 정해지는 것은 아니며, 문제에서 무엇을 구하라고 했는지부터 확인해야 한다.
새 자료에서 도움 없이 빈도표를 다시 만드는가
수업 후에는 앞의 자료를 그대로 다시 풀게 하지 않고 조건을 바꾼다.
자료가 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9일 때 8을 5로 바꾸고, 6을 하나 추가하라는 조건을 제시한다. 학생은 먼저 변경된 자료를 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9로 고친다. 이후 5와 8을 각각 두 번, 6을 세 번, 7과 9를 한 번으로 세어 최빈값이 6임을 확인한다. 이 과정에서 자료를 다시 쓰지 않고 머릿속으로만 계산하거나, 원래 최빈값 8을 답으로 남긴다면 아직 독립 적용이 되지 않은 것이다.
숫자뿐 아니라 문장 순서를 바꾼 문제에서도 같은 첫 행동이 나와야 한다. “어떤 값 하나를 제거했더니 최빈값이 6에서 8로 바뀌었다”는 조건을 보고도 학생이 6과 8의 횟수를 비교하고, 제거된 값이 무엇인지 역으로 확인한다면 개념을 사용할 수 있는 상태다. 정답을 맞힌 뒤에는 “왜 8인가?”라는 질문에 “8의 출현 횟수가 가장 많기 때문”이라고 근거까지 말해야 한다.
금광동 내 금광중학교, 대원중학교, 성남동중학교, 숭신여자중학교의 학습 일정과 통학 상황은 서로 다를 수 있고, 같은 중원구의 도촌중학교는 참고 학교로 구분해야 한다. 중학교에서 고등학교로 넘어가며 이동과 과제, 시험 부담이 늘어날수록 짧은 시간 안에 조건을 표시하고 빈도표를 만드는 습관이 중요하다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 새 자료가 주어졌을 때 최빈값을 다시 산출하고 근거를 설명하는지를 학습 기준으로 삼는 것이 안전하다.