금광동고2수학과외

금광동고2수학과외: 두 항 사이의 간격으로 등비수열의 공비 결정하기

금광동에서 숭신여자고등학교까지 이동하고, 수업 뒤 과제와 시험 준비까지 이어지는 고2 생활에서는 풀이를 처음부터 다시 쓰기보다 오류가 생긴 지점을 정확히 찾아 이어 가는 연습이 필요하다. 금광시장과 래미안금광아파트 생활권에서 통학하는 학생의 풀이에서도 등비수열의 계산이 중간에서 끊기는 장면이 확인됐다.

a₂와 a₄ 사이에는 공비가 두 번 곱해진다

등비수열의 일반항은

a_n=a₁r^n-1

이다. 따라서 a₂=4, a₄=16이라면 두 항의 항번호 차이가 2이므로

a₄=a₂r^4-2=a₂r²

가 된다. 값을 대입하면

16=4r²
r²=4

이므로 실수 범위에서 공비는 r=2 또는 r=-2이다. 계산 중 학생이 r=4라고 적은 것은 4에서 16으로 변한 비율 4를 곧바로 공비로 읽은 결과다. 그러나 a₂에서 a₄까지는 한 칸이 아니라 두 칸 이동했으므로 r이 두 번 곱해진 값이 4이다.

오류가 시작된 식에서 a₁까지 이어서 구하기

이 경우 풀이를 처음부터 반복하지 않고 잘못 적힌 r=4 바로 앞의 관계로 돌아간다.

a₄/a₂=r²
16/4=r²
r²=4

공비의 후보를 정한 뒤 a₂=a₁r을 사용한다.

• r=2이면 4=2a₁이므로 a₁=2
• r=-2이면 4=-2a₁이므로 a₁=-2

따라서 두 항만으로는 하나의 수열만 결정되지 않고, 가능한 수열은

a_n=2·2^n-1 또는 a_n=-2·(-2)^n-1

이다. 실제로 첫 번째 수열은 a₂=4, a₄=16이고, 두 번째 수열도 a₂=4, a₄=16이므로 두 조건을 모두 만족한다. 부호가 바뀌는 공비를 임의로 제외하면 안 된다.

항번호 차이를 먼저 표시하는 짧은 훈련

비슷한 문제를 풀 때는 식을 길게 전개하기 전에 다음 한 줄을 먼저 남긴다.

a_p에서 a_q로 이동한 횟수: q-p

예를 들어 a₃=-6, a₆=48이면

a₆=a₃r^6-3
48=-6r³
r³=-8

이므로 r=-2이다. 이제 a₃=a₁r²에 대입하면

-6=a₁(-2)²=4a₁

따라서 a₁=-3이다. 공비를 구한 뒤에는 반드시 두 원래 조건을 다시 대입해 a₃=-6, a₆=48인지 확인한다.

표기가 바뀌어도 같은 관계를 찾는지 확인하기

마지막에는 항 대신 수열의 값이 다른 단위로 제시된 문제를 사용한다.

어떤 등비수열에서 b₅=3, b₈=24일 때 공비와 첫째항을 구해 보자.

b₈=b₅r^8-5
24=3r³
r³=8

따라서 r=2이고,

b₅=b₁r⁴
3=16b₁

이므로 b₁=3/16이다. 여기서 b₅와 b₈의 비 8을 공비로 적지 않고, 항번호 차이 3에 맞춰 r³=8을 세웠다면 새로운 문자와 항번호에서도 같은 판단을 유지한 것이다.