중랑구 고3수학과외에서 확인한 정적분 첫 오류
먹골역과 신내6단지 생활권을 포함한 중랑구에서 고3 학생의 과제량과 귀가 뒤 시험 준비 순서를 점검하던 중, 원묵고등학교·신현고등학교 등 여러 학교 학생에게 공통으로 나타날 수 있는 정적분 오답 장면을 살펴보았다. 이 학생은 풀이가 해설과 달라지면 전체를 처음부터 다시 쓰지만, 실제 오류가 발생한 첫 줄은 표시하지 않았다.
끝점 대입 순서에서 생긴 부호 오류
학생이 다음 정적분을 계산했다.
∫-12(x2-4)dx
원시함수는 F(x)=x3/3-4x이므로 정적분의 기본 성질에 따라
∫-12(x2-4)dx=F(2)-F(-1)
이어야 한다. 그러나 학생은 첫 줄에서 다음과 같이 썼다.
F(-1)-F(2)=(-1/3+4)-(8/3-8)=9
이 식은 오답이다. 정적분은 항상 ‘상한에서의 원시함수 값-하한에서의 원시함수 값’이므로 순서를 거꾸로 쓰면 적분값의 부호가 바뀐다. 정확한 계산은
F(2)-F(-1)=(8/3-8)-(-1/3+4)=-16/3-11/3=-9
이다. 실제로 구간 [-1, 2]에서 x2-4≤0이므로 그래프가 x축 아래에 있어 적분값이 음수라는 점도 확인할 수 있다.
풀이 전체가 아니라 첫 변형만 고치는 과정
- 해설과 달라진 첫 줄인 F(-1)-F(2)에 밑줄을 긋는다.
- 끝점 옆에 하한 -1, 상한 2를 각각 적어 상한과 하한의 역할을 확인한다.
- 정적분 공식을 F(상한)-F(하한)으로 다시 써 식을 F(2)-F(-1)로 수정한다.
- 계산 결과 -9를 얻은 뒤, 함수값의 부호와 그래프 위치를 대조한다.
또한 같은 상한과 하한이면 구간의 길이가 0이므로
∫33(x2+5)dx=F(3)-F(3)=0
이다. 학생은 이 성질을 확인하지 않고 해설 없이 다시 풀었지만, 먼저 기본 성질과 현재 식의 변형을 비교해야 불필요한 재풀이를 줄일 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 함수와 구간을 바꾸어 다음을 확인했다.
∫-23|x-1|dx
절댓값 안의 식이 0이 되는 x=1에서 구간을 나누면
∫-21(1-x)dx+∫13(x-1)dx
=[x-x2/2]-21+[x2/2-x]13
=9/2+2=13/2
가 된다. 부호가 바뀌는 지점에서는 식을 분리하고, 각 구간의 넓이가 양수인지 확인한 뒤 전체 값을 더해야 한다. 이 검증을 통해 학생은 원시함수 대입 순서뿐 아니라 함수식의 부호와 구간 조건도 함께 점검했다.