중랑구고1수학과외: 정육면체 면을 셀 때 중복 사용 여부부터 표시하기
먹골역이나 신내동처럼 귀가 시간이 일정하지 않은 생활권에서는 학교 과제와 시험 준비 순서를 짧게 점검해야 한다. 특히 경우의 수 서술형에서는 계산보다 먼저 “같은 대상을 다시 사용할 수 있는가”를 표시하는 습관이 풀이의 출발점이 된다.
계산보다 앞에 적어야 할 한 줄
정육면체의 서로 마주 보는 면을 각각 \(A-D\), \(B-E\), \(C-F\)라고 하자. 한 꼭짓점에서 만나는 세 면을 고르는 문제라면, \(A\)를 골랐을 때 \(D\)는 동시에 고를 수 없다. \(B\)와 \(E\), \(C\)와 \(F\)도 마찬가지다.
따라서 풀이 시작 부분에 다음처럼 조건을 남겨야 한다.
각 면은 실제 정육면체의 서로 다른 면이므로 중복 사용 불가. 마주 보는 두 면은 함께 선택할 수 없음.
세 쌍의 마주 보는 면에서 하나씩 고르면 경우의 수는
\(2\times2\times2=8\)
이다. 여기서 각 \(2\)는 한 쌍의 마주 보는 면 중 하나를 선택하는 경우를 뜻한다. 단순히 \(6\times5\times4\)로 계산하면 선택 순서까지 세고, 서로 마주 보는 면을 함께 고르는 경우도 포함하게 된다.
서술형 답안에서 사라진 조건
실제 답안에서는 \(A,B,C\)를 고른 뒤 곧바로 \(3!=6\)이라고 적었다. 하지만 “세 면을 배열하는가”와 “한 꼭짓점에 모일 세 면을 고르는가”는 다른 질문이다. 더구나 답안 여백과 풀이 중간 어디에도 중복 사용 가능 여부나 마주 보는 면의 관계가 표시되어 있지 않았다.
이 상태는 계산법을 전혀 모르는 경우라기보다, 문제의 대상이 숫자나 기호가 아니라 정육면체의 물리적인 면이라는 점을 풀이에 옮기지 못한 상태에 가깝다. \(A\)를 선택한 뒤 \(D\)를 다시 후보에 남겨 두면, 이웃한 면과 마주 보는 면의 구분도 함께 흐려진다.
빠진 줄부터 다시 쓰는 수정 과정
오답을 고칠 때 전체 계산을 지우기보다, 조건을 확인하지 않고 다음 계산으로 넘어간 지점에 선을 긋는다. 그 줄부터 다음 순서로 다시 작성한다.
- 마주 보는 면의 쌍을 \(A-D,\ B-E,\ C-F\)로 표시한다.
- 한 꼭짓점에서 만나는 세 면은 각 쌍에서 하나씩만 선택된다고 적는다.
- 선택 가능한 조합을 \(2\times2\times2\)로 계산한다.
- 예를 들어 \(A,B,C\)를 골랐다면 세 면은 서로 이웃하므로 한 꼭짓점에 모일 수 있음을 확인한다.
반대로 \(A,D,B\)는 \(A\)와 \(D\)가 마주 보므로 한 꼭짓점에 모일 수 없다. 이처럼 식을 쓰기 전에 면의 관계를 표시하면, 같은 면을 반복 사용하거나 마주 보는 면을 이웃한 면으로 처리하는 오류를 막을 수 있다.
배치가 달라져도 추적하는 연습
검증 문제에서는 정육면체의 면에 \(1,2,3,4,5,6\)을 배치하고, 서로 마주 보는 면을 \(1-4,\ 2-5,\ 3-6\)으로 주었다. 여기에 풀이와 관계없는 숫자 \(9\)를 문제 설명에 추가하고, 전개도의 위치도 바꾸었다.
이때 숫자 \(9\)가 정육면체의 면이 아니라 별도의 참고 번호라면 경우의 수에 포함하지 않는다. 학생은 풀이 첫 줄에
사용 가능한 면은 6개, 9는 배치 조건과 무관함. 중복 사용 불가. 마주 보는 쌍은 \(1-4,\ 2-5,\ 3-6\).
라고 표시한 뒤, 각 마주 보는 쌍에서 하나씩 선택하여 \(2^3=8\)을 얻어야 한다. 전개도에서 위치가 바뀌어도 실제로 마주 보는 쌍과 이웃한 면을 다시 추적하는지가 확인 대상이다.
풀이 시작 흔적으로 판단하기
같은 문제를 다시 맞혔는지는 충분한 기준이 아니다. 조건을 바꾼 문제에서 학생이 계산 전에 중복 사용 가능 여부를 표시하고, 불필요한 숫자 \(9\)를 제외하며, 전개도 배치와 무관하게 마주 보는 면의 쌍을 다시 적는지 확인한다.
답이 \(8\)인지뿐 아니라 풀이 첫 부분에 조건 표시가 남아 있어야 이 판단을 새로운 문제에서도 스스로 적용한 것으로 볼 수 있다.