신내동중1수학과외, 수직이등분선 작도 문제에서 멈추는 시간을 줄이는 법
“선분의 양 끝점을 중심으로 같은 반지름의 원을 그린다”라고 적은 뒤, 한 중1 학생은 다음 문항으로 넘어가지 못했다. 작도 순서를 외운 듯 보였지만 왜 두 원의 교점이 필요한지 설명하지 못했고, 서술형 답안에는 작도 결과만 그려 놓았다. 결국 한 문제에 시간이 길어지면서 뒤의 문항을 풀 시간이 부족해졌다.
신내동에서 중1 수학을 공부할 때는 학교와 주거지 사이의 이동 시간, 학원 수업일, 집에서 복습할 수 있는 시간이 학생마다 다를 수 있다. 따라서 수직이등분선 단원에서는 문제 수를 무작정 늘리기보다 학교 프린트와 교과서, 문제집의 범위를 따로 기록하고, 이미 해결된 작도 문항을 복습 목록에서 언제 제외할지 정하는 과정이 필요하다. 신내동 주소에 해당하는 중학교가 확인된 것은 아니므로, 학교 자료는 중랑구 내 동원중학교·면목중학교·봉화중학교·상봉중학교·송곡중학교 등을 통학권 참고 범위로만 구분해 활용한다.
작도 결과는 맞는데 답안이 불완전한 장면
예를 들어 선분 AB의 수직이등분선을 작도하는 문제에서 학생이 다음처럼 풀이했다고 하자.
선분 AB를 그리고 A, B를 각각 중심으로 같은 반지름의 원을 그린 뒤 교점을 연결한다.
그림 자체는 맞을 수 있다. 그러나 원의 반지름이 선분 AB의 절반보다 커야 두 원이 서로 만나며, 두 교점을 연결한 직선이 선분 AB를 수직으로 이등분한다는 조건이 빠져 있다. 학교 프린트에서는 “작도 순서를 쓰시오”라고 묻고, 문제집에서는 “두 점에서 같은 거리에 있는 점의 자취를 이용하시오”라고 표현할 수 있다. 학생이 표현이 달라졌다는 이유로 전혀 다른 문제라고 판단하면 같은 개념을 다시 틀리게 된다.
또 다른 오답은 원의 반지름을 A와 B에서 다르게 잡는 경우다. 학생은 컴퍼스를 눈금자처럼 사용해 A에서 한 번, B에서 한 번 따로 길이를 정하고도 “대략 비슷하다”고 넘어간다. 이때 두 원의 교점이 선분 AB의 수직이등분선 위에 놓인다는 핵심 조건이 사라진다.
한 줄 조건표로 작도 순서를 고정하기
작도 문제를 풀 때 답안을 길게 늘이지 않고 다음 네 칸을 문제 옆에 만든다.
- 기준 선분: AB
- 같은 중심 조건: A와 B
- 같은 반지름 조건: 컴퍼스를 움직이지 않고 두 중심에서 사용
- 마지막 연결: 두 원의 교점을 직선으로 연결
먼저 컴퍼스를 선분 AB의 절반보다 큰 길이로 벌린다. 그 상태를 유지한 채 A를 중심으로 위와 아래에 호를 그리고, 같은 반지름으로 B를 중심으로 호를 그린다. 두 교점을 P, Q라고 표시한 뒤 P와 Q를 잇는다. 이 직선이 수직이등분선이 되는 이유는 P와 Q가 각각 A와 B에서 같은 거리에 있기 때문이다. 또한 P와 Q는 서로 다른 두 점이므로 한 점만 찍고 임의로 선을 긋는 것보다 조건을 확인하기 쉽다.
서술형에서는 결과만 적지 않고 “AP=BP, AQ=BQ이므로 P와 Q는 선분 AB의 수직이등분선 위의 점이다. 따라서 두 점 P, Q를 이은 직선은 AB의 수직이등분선이다”처럼 사용한 조건을 남긴다. 도형의 위치를 눈으로만 판단하지 말고, 선분과 직선의 교차점에 직각 표시와 중점 표시를 덧붙이는 것도 도움이 된다.
학원 진도와 학교 범위를 따로 보이게 만들기
문제 수가 많아질수록 모든 오답을 하나의 목록에 넣으면 실제로 다시 확인해야 할 문항이 묻힌다. 왼쪽에는 학교 프린트와 교과서에서 이번 주에 다룬 수직이등분선 문제를 적고, 오른쪽에는 학원에서 추가로 푼 작도 문제를 적는다. 각 문항 옆에는 ‘조건 누락’, ‘컴퍼스 반지름 변경’, ‘교점 표시 누락’, ‘시간 초과’ 중 한 가지 원인만 표시한다.
다음 날 오답을 펼쳤을 때는 같은 문제의 풀이를 그대로 베껴 쓰지 않는다. 교과서의 “선분의 수직이등분선 작도”와 프린트의 “두 점에서 등거리에 있는 점의 자취”를 한 줄에 놓고, 달라진 표현에 밑줄을 긋는다. 그다음 두 문제에서 공통으로 필요한 조건이 무엇인지 한 문장으로 말한다. 설명을 길게 늘이는 대신 틀린 위치 한 곳만 수정한다. 예를 들어 반지름을 다르게 잡았다면 컴퍼스 사용 단계에 ‘반지름 유지’를 적는다.
시간 제한과 회전된 그림으로 독립 적용 확인하기
수직이등분선 문제를 다시 맞혔다고 바로 종료하지 않는다. ① 선분의 길이를 바꾸고 ② 교점을 위아래가 아니라 좌우에 보이게 그림을 회전하고 ③ “작도 과정을 설명하시오”를 “왜 이 직선이 수직이등분선인지 서술하시오”로 바꾼다. 3분 안에 기준 선분, 같은 중심, 같은 반지름, 두 교점 연결을 빠짐없이 기록하는지 확인한다.
이때 학생이 회전된 그림에서도 도형의 모양을 따라 임의로 선을 긋지 않고, 두 원의 교점을 표시한 뒤 연결한다면 시각적 위치가 아니라 작도 조건을 사용한 것이다. 서술형에서는 AP=BP와 AQ=BQ를 근거로 남기는지, 직각과 중점 조건을 그림에 표시하는지 확인한다.
일주일 뒤에는 학교 프린트와 표현이 다른 문제를 한 개만 골라 다시 푼다. 같은 개념을 연결하고, 조건 누락 없이 제한 시간 안에 해결하며, 계산이나 그림을 다시 확인할 때 원래 조건에 대입하듯 작도 조건을 재검토하면 해당 문항을 복습 목록에서 뺄 수 있다. 반대로 문제는 맞혔지만 반지름 유지나 두 교점 표시를 설명하지 못했다면 ‘해결’이 아니라 ‘조건 설명 보완’으로 남겨야 한다.