면목동중3수학과외, 한 점을 지난다는 조건을 식으로 끝까지 확인하는 이차함수 학습
학생이 이차함수 문제에서 y=x²+2x-3을 답으로 적고도 풀이를 끝내려 했다. 문제의 조건은 그래프가 점 (1,0)을 지나고, 꼭짓점의 x좌표가 -1인 이차함수의 식을 구하는 것이었다. 학생은 꼭짓점의 x좌표를 이용해 계수를 정한 뒤 식을 만들었지만, 마지막에 그 식에 x=1을 대입해 실제로 y가 0이 되는지 확인하지 않았다. 답이 맞아 보이는 것과 주어진 조건을 모두 만족하는 것은 같은 일이 아니다.
꼭짓점의 x좌표만 보고 계수를 정하지 않기
이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프에서 축의 방정식은 x=-b/2a이다. 따라서 꼭짓점의 x좌표가 -1이라면
-b/2a=-1
이므로 b=2a라는 관계를 얻는다. 여기서 바로 특정한 식을 정할 수 있는 것은 아니다. 학생은 a=1을 임의로 넣어 b=2를 만들고, 점 (1,0)을 대입해 c=-3을 구했다. 그 결과 y=x²+2x-3이 나왔지만, 이 과정에서 a=1을 선택한 근거가 없었다.
점 하나와 꼭짓점의 x좌표만으로는 일반적으로 이차함수의 식이 하나로 정해지지 않는다. b=2a를 원래 식에 넣으면
y=ax²+2ax+c
이고, 점 (1,0)을 지나므로 a+2a+c=0, 즉 c=-3a이다. 따라서 식은
y=a(x²+2x-3)
의 형태로 남는다. a의 값이 별도로 주어지지 않았다면 여러 식이 가능하다. 학생이 답을 맞혔다고 말하기 전에 먼저 ‘조건이 식을 하나로 결정하는가’를 살펴야 하는 이유다.
맞힌 식도 세 가지 방식으로 대조하기
수정 과정에서 학생은 답을 지우고 무작정 다른 문제를 풀지 않았다. 먼저 문제의 조건을 세 칸으로 나누어 적었다.
- 그래프가 지나는 점:
(1,0) - 꼭짓점의 x좌표:
-1 - 식의 계수에 추가로 주어진 조건: 없음
그다음 a=1일 때의 식을 조건에 대입했다. x=1이면 y=1+2-3=0이므로 점은 지난다. 또 축은 x=-2/(2)=-1이므로 두 조건도 확인된다. 그러나 이 검산은 ‘이 식이 조건을 만족한다’는 사실만 보여 줄 뿐, ‘이 식만 정답이다’라는 뜻은 아니다. a=2로 바꾸면 y=2x²+4x-6도 (1,0)을 지나고 축은 여전히 x=-1이다.
학생이 고쳐야 할 행동은 계산을 더 많이 하는 것이 아니라, 답을 적은 뒤 조건의 성격을 확인하는 것이다. 점 조건은 해당 좌표를 대입하고, 축이나 꼭짓점 조건은 -b/2a 또는 완전제곱식으로 확인한다. 마지막에는 계수 하나가 임의로 정해졌는지도 표시한다.
식의 모양이 달라져도 같은 조건을 꺼내기
면목동에서 중3 수학 학습을 진행할 때는 면목중학교, 용마중학교, 중화중학교의 학교별 내신 일정과 학생의 주간 과제량을 따로 살피는 편이 적절하다. 같은 중랑구의 동원중학교와 봉화중학교 자료는 참고 범위로 구분해야 하며, 이를 면목동 소재 학교로 표현하지 않는다. 면목신우아파트와 면목한신아파트 등 생활권에서 통학하는 학생도 학교 프린트, 학원 일정, 시험 전 보충 시간에 따라 같은 단원의 학습 속도가 달라질 수 있다. 지역 전체를 하나의 수준으로 묶기보다 실제 풀이에서 어떤 조건을 확인하는지 기록한다.
다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프가 점 (2,6)을 지나고 축이 x=1이라고 하자. 학생은 이전처럼 먼저 -b/2a=1에서 b=-2a를 얻었다. 점 조건을 대입하면
4a+2b+c=6
이고, b=-2a이므로 c=6이라는 관계가 나온다. 여기서도 a가 정해지지 않았으므로 식 하나를 임의로 확정할 수 없다. 학생은 과거처럼 계수를 마음대로 1로 놓지 않고, ‘추가 조건이 없으므로 여러 식이 가능하다’고 말한 뒤 a=1일 때 y=x²-2x+6을 예로 들었다. 실제로 x=2를 대입하면 y는 6이고, 축은 x=-(-2)/2=1이다.
이번 확인에서는 숫자만 바뀐 것이 아니라 구하는 대상과 조건의 관계를 학생이 직접 설명해야 했다. 점 대입, 축 계산, 계수 결정 가능성 점검을 도움 없이 수행했다면 정답을 기억한 것이 아니라 이차함수 조건을 해석한 것으로 볼 수 있다.
자주 묻는 질문
점 하나와 축만으로 식이 항상 정해지나요?
아니다. 보통 계수 하나가 더 필요하다. 최고차항의 계수, 다른 점, 꼭짓점의 y좌표처럼 추가 조건이 있어야 식을 하나로 결정할 수 있다.
예시로 a=1을 정해도 되나요?
가능한 식을 하나 제시하는 예라면 괜찮지만, 유일한 정답이라고 쓰면 안 된다. 임의로 정한 값인지 문제에서 주어진 값인지 구분해야 한다.