“평균이 같으니 흩어진 정도도 같겠죠?” 장안구 중3 학생이 표를 보고 자주 하는 말이다. 하지만 평균은 자료의 중심을 나타내고, 표준편차는 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 두 자료의 평균이 같아도 값의 배치가 다르면 표준편차는 달라질 수 있다. 장안구중3수학과외에서는 계산식을 먼저 외우기보다 자료의 조건을 읽고 어떤 값을 비교해야 하는지 판단하는 데서 시작한다.
평균이 같다는 사실만으로 표준편차를 정할 수 없는 이유
다음 두 자료를 비교해 보자.
A: 4, 5, 6, 7, 8
B: 2, 4, 6, 8, 10
두 자료의 평균은 모두 6이다. 학생은 평균이 같다는 이유로 표준편차도 같다고 적었지만, 평균에서 떨어진 정도를 계산하면 차이가 드러난다. A의 편차는 -2, -1, 0, 1, 2이고 B의 편차는 -4, -2, 0, 2, 4이다. 편차의 합은 모두 0이므로 표준편차를 구할 때 편차를 그대로 더하지 않는다. 편차를 제곱하여 흩어진 정도를 비교해야 한다.
A의 편차 제곱의 평균은
(4+1+0+1+4)÷5=2
이고, B는
(16+4+0+4+16)÷5=8
이다. 따라서 A의 표준편차는 √2, B의 표준편차는 √8이다. B가 평균 6에서 더 멀리 퍼져 있으므로 표준편차도 더 크다.
학생이 멈춘 지점은 계산보다 ‘무엇을 비교하는가’였다
처음 풀이에서 학생은 평균을 구한 뒤 곧바로 “평균이 같으므로 동일하다”고 결론 내렸다. 다른 문제에서는 편차를 -3, -1, 1, 3처럼 계산하고 그 합이 0이 되자 표준편차가 0이라고 썼다. 이 오답은 부호가 있는 편차의 합과 자료의 흩어진 정도를 구분하지 않은 데서 생긴다.
수정할 때는 매 자료 옆에 평균, 편차, 편차의 제곱을 차례로 적게 했다. 특히 음수 편차를 지우지 않고 괄호를 사용해 (-3)²처럼 표시하도록 했다. 편차 제곱의 평균을 구한 다음 마지막에 제곱근을 취해야 하므로, 분산과 표준편차를 같은 값으로 적지 않는 것도 함께 확인했다.
표준편차를 구하기 전 조건부터 표시하기
표준편차 문제에서 숫자 계산만큼 중요한 것은 자료의 개수와 평균의 변화 여부다. 예를 들어 모든 자료에 3을 더하면 자료가 7, 8, 9, 10, 11로 바뀐다. 평균은 9가 되지만 각 자료와 평균의 차이는 여전히 -2, -1, 0, 1, 2이다. 따라서 표준편차는 원래 자료와 같다.
반대로 모든 자료를 2배 하면 8, 10, 12, 14, 16이 된다. 평균은 12이고 편차는 -4, -2, 0, 2, 4가 되므로 표준편차도 2배가 된다. 학생은 처음에 평균이 달라지면 표준편차도 무조건 달라진다고 판단했지만, 실제로는 자료가 평균에서 떨어진 방식이 어떻게 변했는지를 확인해야 한다.
- 모든 자료에 같은 수를 더하거나 빼면 표준편차는 변하지 않는다.
- 모든 자료를 양의 수 k배 하면 표준편차도 k배가 된다.
- 자료 하나만 바뀌면 평균과 각 편차가 함께 달라질 수 있으므로 다시 계산해야 한다.
이 규칙을 사용할 때도 문제의 조건을 먼저 표시한다. “각 자료에 5를 더했다”와 “자료의 최댓값만 5 증가했다”는 전혀 다른 상황이다. 후자는 모든 자료에 같은 변화가 적용된 것이 아니므로 표준편차가 그대로라고 말할 수 없다.
분산과 표준편차를 섞지 않는 풀이 기록
자료 3, 3, 7, 7의 평균은 5이다. 편차는 -2, -2, 2, 2이고 편차 제곱은 4, 4, 4, 4이다. 분산은 4, 표준편차는 √4=2이다. 학생이 “편차 제곱의 평균이 표준편차”라고 적었다면 마지막 제곱근 단계가 빠진 것이다.
이를 막기 위해 풀이표의 마지막 두 칸을 분리한다.
편차 제곱의 평균 → 분산
분산의 제곱근 → 표준편차
표준편차를 구한 뒤에는 제곱하여 분산으로 돌아가는 역검산도 한다. 답이 2라면 2²=4가 되어 분산과 일치하는지 확인한다. 단, 문제에서 이미 표준편차를 묻는지 분산을 묻는지 질문 문장을 다시 읽어야 한다.
새 조건에서 같은 판단을 꺼내는지 확인하기
수업 후에는 앞서 풀었던 A와 B를 숫자만 바꾼 문제를 제시했다.
C: 10, 11, 12, 13, 14
D: 8, 10, 12, 14, 16
학생은 먼저 두 자료의 평균이 각각 12라고 적었다. 이어 C의 편차 제곱의 평균은 2, D의 편차 제곱의 평균은 8이라고 계산하여 C의 표준편차가 더 작다고 설명했다. 이번에는 정답만 말하지 않고 “평균은 같지만 D의 자료가 평균에서 더 멀리 퍼져 있다”는 근거까지 붙였다.
마지막으로 C의 각 자료에 4를 더한 자료와, C의 자료 중 최댓값만 4를 더한 자료를 구분하게 했다. 첫 번째 경우에는 표준편차가 그대로라고 판단했지만, 두 번째 경우에는 평균부터 다시 구해야 한다고 말했다. 같은 숫자를 반복한 것이 아니라 변화 조건을 읽고 첫 행동을 달리한 것이다.
경기도 수원시 장안구에서는 경기체육중학교, 대평중학교, 명인중학교, 송원중학교, 수성중학교, 수원북중학교 등이 대표 중학교로 확인된다. 다만 이 학교들이 천천동을 포함한 장안구 모든 학생의 동일한 통학권을 뜻하는 것은 아니다. 실제 수업 일정은 학교와 거주지 사이 이동, 방과후 귀가 시간, 그 뒤 확보되는 자습시간을 함께 살펴 조정하는 편이 현실적이다. 이동 직후에는 표준편차 계산 전체를 반복하기보다, 그날 틀린 문제에서 평균·편차·제곱·제곱근 중 어느 단계가 빠졌는지 표시하는 방식으로 학습량을 정한다.
자주 묻는 질문
평균이 같으면 표준편차도 항상 비교할 수 있나요?
평균이 같다는 것만으로 표준편차가 같다고 할 수는 없습니다. 각 자료가 평균에서 떨어진 거리와 그 제곱을 확인해야 합니다.
모든 자료에 같은 수를 더하면 왜 표준편차가 그대로인가요?
평균도 같은 수만큼 이동하므로 각 자료와 평균 사이의 차이가 변하지 않기 때문입니다.
표준편차 답을 구한 뒤 무엇을 확인하나요?
표준편차를 제곱해 분산과 맞는지 확인하고, 문제에서 요구한 값이 분산인지 표준편차인지 질문을 다시 읽습니다.