장안구중1수학과외, 정비례와 반비례를 식보다 변화 방식으로 구분하기
“문제에 숫자가 세 개 있으니 식에도 세 개를 넣어야 해요.” 정비례·반비례 문장제를 풀 때 장안구의 한 중1 학생에게서 자주 나타나는 말이다. 이 학생은 표와 그래프의 수치를 읽는 데에는 큰 어려움이 없지만, 무엇과 무엇이 함께 변하는지 판단하기 전에 숫자부터 식에 옮긴다. 그 결과 정비례 상황에 곱셈을 사용하거나, 반비례 상황에서 두 양을 더하는 식을 세우는 오답이 생긴다.
정비례와 반비례는 식의 모양을 외우는 것보다 한 양이 변할 때 다른 양이 어떻게 변하는지 먼저 확인해야 한다. 정비례는 한 양이 2배, 3배가 되면 다른 양도 같은 배수로 변한다. 두 양을 x, y 라고 할 때 y=ax로 나타내며, y/x가 일정하다. 반비례는 한 양이 커질수록 다른 양이 같은 비율로 작아지는 관계다. 이때 y=a/x이고 xy가 일정하다.
식보다 먼저 읽어야 할 변화의 방향
예를 들어 공책 한 권의 가격이 800원으로 일정하다면 공책 수와 전체 금액은 정비례한다.
1권 → 800원, 2권 → 1,600원, 4권 → 3,200원
공책 수가 2배가 될 때 금액도 2배가 되므로 y=800x로 쓸 수 있다. 여기서 할인율 10%나 준비한 돈 5,000원 같은 정보가 함께 제시되더라도, 현재 묻는 것이 공책 수와 할인 전 전체 금액의 관계라면 모든 숫자를 식에 넣지 않는다. 문제의 숫자를 빠짐없이 사용하는 것이 목표가 아니라, 두 양의 관계에 필요한 수량을 고르는 것이 먼저다.
반대로 일정한 거리를 같은 속도로 이동할 때 속력과 시간은 반비례한다. 거리가 12km로 일정하다면 속력이 시속 2km일 때 6시간, 시속 3km일 때 4시간이다. 속력이 커졌지만 시간은 줄어들고, 2×6=3×4=12가 된다. 따라서 시간과 속력의 곱이 일정한지 확인해야 한다.
실제 오답을 관계 표시로 바꾸기
한 학생이 다음 문장제를 만났다고 하자.
“6명이 4시간 동안 같은 양의 작업을 한다. 같은 작업을 8명이 한다면 몇 시간이 걸리는가? 작업장은 오전 9시에 문을 열고, 휴식 시간은 20분이다.”
학생은 6, 4, 8, 9, 20을 모두 사용해 6×4+8+9+20과 같은 식을 적는다. 그러나 오전 9시와 휴식 시간은 작업 인원과 작업 시간의 반비례 관계를 구하는 데 필요한 정보가 아니다. 먼저 수량 관계 화살표를 만든다.
- 작업 인원: 6명 → 8명, 증가
- 작업 시간: 4시간 → ?, 감소
- 같은 작업량: 인원 × 시간 일정
따라서 6×4=8×x이고, 24=8x, x=3이다. 답을 쓴 뒤에는 “사람 수가 늘었으므로 시간이 4시간보다 짧아야 한다”라고 방향을 점검한다. 계산 결과 5시간이 나왔다면 식이나 계산을 다시 확인해야 한다.
표와 그래프를 볼 때의 확인 순서
표에서 값이 함께 커진다고 무조건 정비례라고 판단해서는 안 된다. 다음 표를 보자.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 5 | 10 | 15 |
이 경우 y/x가 모두 5이므로 정비례다. 반면 다음과 같이 표시된다면 반비례를 의심한다.
| x | 1 | 2 | 4 |
| y | 24 | 12 | 6 |
각 행의 곱이 모두 24이므로 y=24/x이다. 그래프를 읽을 때도 점의 위치만 보고 판단하지 말고, 표에서 비율 또는 곱을 계산해 관계를 검증한다. 단위가 분과 시간처럼 바뀌면 먼저 단위를 통일한다. 2시간과 120분을 그대로 비교하면 관계를 잘못 해석할 수 있다.
오답노트를 ‘정답 보관함’으로 두지 않기
정답만 오답노트에 옮기면 다음 날 같은 문제의 숫자를 기억해 풀 수는 있어도, 문장 표현이 바뀌었을 때 다시 막힌다. 오답 옆에는 다음 네 칸을 직접 작성한다.
- 변하는 두 양은 무엇인가
- 한 양이 증가할 때 다른 양은 증가하는가, 감소하는가
- 일정한 값은
y/x인가,xy인가 - 식에 사용하지 않은 숫자와 그 이유는 무엇인가
예를 들어 “수도꼭지의 개수가 늘면 물을 채우는 시간이 줄어든다”는 문장에서는 같은 물의 양이라는 조건을 표시하고, 수도꼭지 수와 시간의 곱이 일정하다고 적는다. 반대로 “일정한 속도로 이동한 시간이 늘면 이동 거리가 늘어난다”면 속도 일정이라는 조건 아래 시간과 거리가 정비례한다고 분류한다.
수행평가 자료를 변형 문제로 다시 확인하기
수행평가에서 사용한 표나 생활 속 자료는 짧은 지필형 문제로 바꾸어 훈련할 수 있다. 처음에는 “재료의 양이 2배가 되면 필요한 비용은 어떻게 되는가?”처럼 정비례를 묻고, 다음에는 “같은 거리를 이동할 때 속력이 2배가 되면 시간은 어떻게 되는가?”처럼 반비례를 묻는다. 이때 학생은 식을 쓰기 전에 증가·감소 화살표와 일정 조건을 표시한다.
검증은 같은 문제의 숫자만 바꾸어 바로 맞히는 것으로 끝내지 않는다. 다음 날에는 정비례 문제에 불필요한 개수나 시각 정보를 추가하고, 반비례 문제에는 분 단위와 시간 단위를 섞어 제시한다. 일주일 뒤에는 표를 그래프로 바꾸거나 문장 순서를 바꾼 문제를 풀게 한다. 답을 기억하지 못해도 y/x 또는 xy를 스스로 선택하고, 결과가 변화 방향과 맞는지 설명한다면 이전 오답 훈련을 종료할 수 있다.
장안구에서는 천천동 등 생활권에서 학교 수업과 방과 후 이동 시간이 달라질 수 있으므로, 특정 학교 학생의 통학 경로를 모든 학생에게 일반화하기보다 실제 확보된 자습 시간에 맞춰 다음 날 재풀이와 일주일 뒤 검증 시간을 배치하는 편이 현실적이다. 경기체육중학교, 대평중학교, 명인중학교, 송원중학교, 수성중학교, 수원북중학교는 장안구 대표 참고 학교로 볼 수 있지만, 각 학교 학생의 동일한 통학권이나 시험 경향을 단정하지 않는다.
자주 묻는 질문
정비례와 반비례를 가장 먼저 어떻게 구분하나요?
한 양이 커질 때 다른 양도 커지는지, 작아지는지 먼저 보고, 정비례는 나눈 값, 반비례는 곱한 값이 일정한지 확인합니다.
문제의 숫자를 사용하지 않아도 되나요?
관계를 묻는 데 필요하지 않은 숫자는 식에 넣지 않아도 됩니다. 사용하지 않은 이유를 문장으로 설명할 수 있어야 합니다.