일산중1수학과외, 삼각형 작도 순서보다 선과 원의 역할을 설명하는 연습
“세 변의 길이가 주어졌으니 자로 삼각형을 먼저 그리면 되죠.”
삼각형 작도 문제에서 이런 답을 하는 중1 학생은 순서를 외우지 못한 것이 아니라, 각 작도 도구가 어떤 조건을 전달하는지 연결하지 못한 경우가 많다. 컴퍼스로 같은 길이를 옮기고, 두 원의 교점을 찾는 과정이 빠지면 겉보기에는 비슷한 그림을 그려도 주어진 세 변을 만족하는 삼각형인지 확인하기 어렵다.
작도 순서를 외웠는데도 풀이가 끊기는 지점
예를 들어 세 변의 길이가 5cm, 4cm, 6cm로 주어졌다고 하자. 먼저 6cm인 선분을 그린 뒤 양 끝점을 중심으로 반지름 5cm와 4cm인 원을 그리면 두 원의 교점이 세 번째 꼭짓점이 된다. 이때 학생은 “밑변을 그리고 원 두 개를 그린다”라고만 기억하기 쉽다.
하지만 실제 의미는 다르다. 한 원 위의 모든 점은 한 끝점에서 거리가 5cm이고, 다른 원 위의 모든 점은 다른 끝점에서 거리가 4cm이다. 두 원의 교점은 이 두 조건을 동시에 만족하므로 세 변의 길이가 결정된다. 이 관계를 이해하지 못하면 컴퍼스 대신 자로 대충 길이를 재거나, 반지름을 반대로 잡아 작도하게 된다.
오답노트에 정답 그림만 옮기지 않기
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 작도 문제를 틀린 뒤 교과서의 완성된 그림만 오답노트에 붙이고 “컴퍼스로 원을 그린다”라고 적을 수 있다. 다음 문제에서 주어진 선분의 길이가 바뀌면 다시 막히는 이유다.
오답노트에는 완성 그림보다 다음 네 가지를 남긴다.
- 처음 기준이 된 선분과 그 길이
- 각 원의 중심이 어느 점인지
- 각 원의 반지름이 어떤 변의 길이인지
- 두 원의 교점이 왜 세 번째 꼭짓점이 되는지
예를 들어 선분 AB를 6cm로 정했다면, A를 중심으로 반지름 5cm인 원호를 그리고 B를 중심으로 반지름 4cm인 원호를 그린다. 교점을 C라고 할 때 AC=5cm, BC=4cm가 된다는 식으로 작도 흔적과 조건을 함께 적는다. 정답 그림만 복사하는 대신 각 선과 원 옆에 ‘AB의 길이’, ‘AC를 정하기 위한 원’, ‘BC를 정하기 위한 원’처럼 역할을 표시한다.
학생이 직접 바꾸어 수행할 행동
작도 전에 문제의 조건을 그림에 문자로 표시한다. 선분 AB를 먼저 그렸다면 AB의 길이를 적고, A와 B 중 어느 점을 중심으로 어떤 반지름을 사용할지 작은 표로 정리한다.
- A 중심, 반지름 5cm
- B 중심, 반지름 4cm
- 두 원호의 교점 C 표시
- AC와 BC의 길이를 다시 확인
컴퍼스를 사용할 때는 눈금자로 원호의 크기를 재지 않는다. 컴퍼스의 벌어진 간격을 주어진 선분에 맞춘 뒤 그대로 이동한다. 작도 후에는 AC=5cm, BC=4cm인지 확인하고, 선분 AB의 길이까지 포함해 세 변의 조건이 모두 반영되었는지 말로 설명한다.
다음 문제에서 독립 적용되는지 확인하기
같은 그림을 바로 다시 그리는 것으로 끝내지 않는다. 기준 선분을 5cm로 바꾸고 나머지 두 변을 3cm와 4cm로 제시하거나, 원을 그리는 순서를 섞어 놓은 문제를 사용한다. 학생이 먼저 기준 선분을 선택하고 두 원의 중심과 반지름을 스스로 정하는지 본다.
또한 완성된 그림을 보여 주지 않고 작도 과정을 서술하게 한다. “점 A를 중심으로 반지름 ○cm인 원호를 그리고, 점 B를 중심으로 반지름 ○cm인 원호를 그린 뒤 교점을 C로 정한다”와 같이 쓸 수 있어야 한다. 두 원의 교점이 위쪽이든 아래쪽이든 주어진 세 변을 만족한다면 같은 조건의 삼각형이 될 수 있다는 점도 확인한다.
다음 날에는 컴퍼스 없이 작도 순서를 말하게 하고, 일주일 뒤에는 세 변의 숫자와 기준 선분을 바꾼 학교 프린트 문제를 시간 제한 안에 해결하게 한다. 맞혔더라도 원의 중심과 반지름을 설명하지 못했거나 작도 후 변의 길이를 확인하지 않았다면 완료로 처리하지 않는다.
일산 생활권에서 계획을 세울 때의 확인점
일산동구·일산서구 생활권에는 가람중학교, 고양송산중학교, 고양제일중학교, 고양중학교, 능곡중학교, 대송중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 모든 세부 생활권 학생의 통학 조건이나 학교별 시험 범위를 동일하게 볼 수는 없다. 학교 프린트와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 확인해 작도 단원을 한 번에 몰아 하기보다 작도 과정 기록과 변형 문제 검증을 나누어 배치하는 편이 적절하다.
일산중1수학과외에서 삼각형 작도를 다룰 때의 완료 기준은 그림을 비슷하게 그리는 데 있지 않다. 주어진 변을 어떤 선분으로 정했는지, 각 원의 중심과 반지름이 무엇인지, 두 원의 교점이 왜 꼭짓점이 되는지 설명하고 숫자가 바뀐 문제에도 같은 절차를 적용하는 데 있다.