일산서구중3수학과외, 그림이 바뀌어도 빗변·대변·인접변을 다시 찾는 삼각비
학생이 직각삼각형을 보고 “빗변은 10, 대변은 6이니까 sin θ=6/10”이라고 적었다. 그런데 다음 문항에서 그림이 반대 방향으로 돌아가자 같은 학생은 6을 인접변으로 읽고 cos θ=6/10이라고 답했다. 숫자를 계산하지 못한 것이 아니라, 기준각이 바뀌었을 때 변의 이름을 다시 정하지 않은 장면이다.
중3 삼각비에서는 변의 길이를 외우는 것보다 먼저 기준각을 표시해야 한다. 직각의 맞은편 변은 빗변이 아니며, 빗변은 항상 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이다. 기준각을 정한 뒤 그 각의 맞은편이 대변, 맞닿아 있으면서 빗변이 아닌 변이 인접변이 된다. 따라서 같은 6이라는 길이도 기준각의 위치에 따라 대변이 될 수도, 인접변이 될 수도 있다.
sin을 먼저 고르는 습관이 그림을 바꿀 때 드러난다
예를 들어 직각삼각형에서 기준각 θ의 맞은편 변이 6, 빗변이 10이라면
sin θ=대변/빗변=6/10=3/5
이다. 학생은 이 문제에서는 정답을 맞혔지만, 풀이 옆에 기준각 표시가 없었다. 그래서 기준각과 대변의 관계를 사용한 것인지, 단순히 보이는 숫자를 나눈 것인지 확인하기 어려웠다. 과외에서는 정답에 동그라미를 치는 대신, 학생이 각 θ에서 출발해 변을 가리키도록 한다. θ에 손가락을 댄 뒤 “직각 맞은편은 대변, 직각 맞은편 변은 빗변, 남은 한 변은 인접변”이라고 말하게 하면 그림의 방향과 숫자가 달라도 같은 판단을 재현할 수 있다.
반대로 기준각의 맞은편 변이 8이고 인접변이 6이라면 빗변은 피타고라스 정리에 의해 10이다. 이때
cos θ=인접변/빗변=6/10=3/5
가 된다. 여기서 8/10을 cos으로 쓰면 대변과 인접변을 뒤바꾼 오류다. 먼저 직각 표시를 찾고, θ와 마주 보는 변을 제외한 뒤, 남은 변 중 빗변이 아닌 것을 인접변으로 확인하는 순서를 고정해야 한다.
맞은 식에도 기준각과 선택 근거를 붙인다
삼각비 문제를 풀 때 학생에게 처음부터 비율을 쓰게 하지 않고 세 칸을 채우게 할 수 있다.
- 기준각: θ
- 구하는 비: sin, cos, tan 중 무엇인가
- 필요한 변: 대변·인접변·빗변 중 무엇인가
예를 들어 대변이 5, 인접변이 12인 직각삼각형에서 tan θ를 구한다면 빗변을 먼저 구할 필요가 없다.
tan θ=대변/인접변=5/12
학생이 12/5라고 적었다면 계산 실수로만 표시하지 않는다. θ를 기준으로 어느 변이 대변인지 다시 표시하고, “tan은 θ에서 마주 보는 변을 위에 둔다”는 근거를 식 옆에 쓰게 한다. 반면 sin θ를 구하라는 문제에서 빗변이 13, 대변이 5라면 sin θ=5/13이며, 인접변 12는 주어진 정보라도 해당 비율에는 바로 사용하지 않는다.
일산서구의 일정 안에서 풀이 행동을 관찰한다
일산서구에는 고양송산중학교, 대송중학교, 대화중학교, 덕이중학교, 발산중학교, 신일중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 가좌동·대화동·덕이동·일산동·주엽동·탄현동 전체 학생의 동일한 통학권이나 동일한 시험 특성으로 단정할 수는 없다. 실제 계획을 세울 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 학생의 평일 귀가 시간을 함께 확인하는 편이 현실적이다. 예를 들어 귀가가 늦은 날에는 새로운 삼각비 유형을 많이 배치하기보다, 학교 프린트의 그림에서 기준각과 세 변을 표시하는 짧은 과제를 두고, 시간이 확보되는 날에 표현이 바뀐 문제를 적용한다.
원시티1단지, 성저마을5단지, 현충공원 등이 포함된 생활권에서도 이동 시간과 학교 일정은 학생마다 다를 수 있다. 따라서 지역명을 근거로 학습량을 정하기보다, 실제 귀가 후 확보되는 시간에 맞춰 ‘기준각 표시 → 변 이름 쓰기 → 비율 선택 → 식 작성’의 한 사이클을 수행했는지 기록한다.
도형을 회전하고 구하는 대상을 바꿔 독립 검증한다
수정 직후 같은 그림을 다시 풀어 맞힌 것만으로는 충분하지 않다. 다음 문제에서는 직각삼각형을 회전하고, θ를 다른 꼭짓점에 표시한다. 빗변의 길이를 15, 새 기준각의 대변을 9로 제시하면 학생은 그림의 위아래나 좌우에 끌리지 않고 먼저 직각의 맞은편 변을 빗변으로 정해야 한다. 그 다음
sin θ=9/15=3/5
를 쓰고, “9는 새 기준각에서 맞은편에 있으므로 대변”이라고 설명해야 한다.
이번에는 같은 도형에서 구하는 대상을 cos θ로 바꾸고 인접변을 12로 제시한다. 학생이 9/15를 그대로 옮기지 않고
cos θ=12/15=4/5
로 다시 작성한다면 정답을 기억한 것이 아니라 기준각과 비율의 관계를 꺼내 쓴 것이다. 마지막으로 tan θ를 묻는 문항에서는 9/12=3/4를 선택해야 한다. 세 문제의 숫자와 구하는 비를 바꾸었을 때에도 학생이 계산 전에 기준각과 변의 이름을 먼저 적는지가 독립 적용의 기준이 된다.
삼각비 학습의 진전은 문제집 진도보다 새로운 그림에서 첫 행동이 달라졌는지로 확인할 수 있다. 직각 표시를 찾고 기준각을 표시한 뒤, 대변·인접변·빗변을 구분해 비율을 선택한다면 숫자와 그림의 변화에도 풀이가 흔들리지 않는다.