탄현동중3수학과외, 삼각비 표를 읽고 조건이 바뀌어도 적용하는 연습
“표에서 30°를 찾았는데 왜 답이 안 맞아요?”
탄현동의 한 중3 학생은 삼각비 표를 펼치면 sin 30°, cos 30°, tan 30°의 값을 찾는 일 자체는 빠르게 해냈다. 하지만 문제의 표현이 조금만 달라지면 표의 어느 값을 사용해야 하는지 다시 묻곤 했다. 예를 들어 직각삼각형에서 기준각이 40°이고 빗변이 12cm, 기준각의 대변을 구하는 문제에서는 sin 40°를 사용해야 하지만, 학생은 먼저 보이는 변의 길이와 표의 숫자를 곱해 답을 정했다. 표를 읽은 것이 아니라 숫자를 골라 계산한 셈이었다.
표의 숫자보다 먼저 확인할 것은 기준각과 두 변의 위치
삼각비 표를 사용할 때는 각도와 함께 무엇을 구하는지 연결해야 한다. 기준각을 A라고 하면 sin A는 대변과 빗변의 비, cos A는 인접변과 빗변의 비, tan A는 대변과 인접변의 비다. 학생이 자주 쓴 “sin 40° = 12 ÷ x”라는 식은 12cm인 변이 빗변인지 대변인지 표시하지 않은 상태에서 만든 식이었다.
수정할 때는 계산부터 지우지 않고 그림에 세 가지 표시를 했다. 기준각에는 동그라미, 직각 맞은편 변에는 ‘대’, 직각과 기준각에 함께 닿는 변에는 ‘인’이라고 적었다. 직각 맞은편의 가장 긴 변에는 ‘빗’이라고 표시했다. 기준각이 40°, 빗변이 12cm, 대변을 x라고 하면 다음처럼 식을 세운다.
sin 40° = x ÷ 12
따라서 x = 12 × sin 40°이다. 삼각비 표에서 sin 40°의 값을 확인한 뒤 곱하고, 구한 x가 빗변 12보다 작은지 확인한다. 대변은 빗변보다 길 수 없으므로 결과가 12보다 크게 나오면 표를 잘못 읽었거나 식의 변 위치를 바꾼 것이다.
같은 40°라도 구하는 변에 따라 표의 행이 달라진다
학생의 혼동은 sin, cos, tan의 뜻을 외웠는지보다 같은 그림에서 구하는 대상이 바뀔 때 식을 다시 세우는지에서 드러났다. 기준각 40°, 빗변 12cm인 문제에서 대변을 구할 때는 sin 40°를 사용한다. 반대로 인접변을 x라고 하면 cos 40° = x ÷ 12이므로 x = 12 × cos 40°가 된다. 각도는 같아도 구하는 변이 달라지면 표에서 읽는 행이 달라진다.
학생은 두 문제의 각도 숫자가 모두 40이라는 이유로 같은 값을 사용하려 했다. 그래서 표를 펼치기 전에 “기준각은 몇 도인가?”, “알고 있는 변은 무엇인가?”, “구하는 변은 무엇인가?”를 짧게 말하도록 했다. 답을 적기 전 세 질문에 답하면 표의 sin, cos, tan 중 하나를 선택하고, 선택한 이유를 식으로 남겼다.
표를 읽을 때 소수점 자리와 행 이름을 함께 확인하기
삼각비 표에는 각도별 값이 나란히 배열되어 있어 행이나 열을 한 칸 잘못 읽기 쉽다. 학생은 sin 35°를 찾으라는 문제에서 sin 30°의 값을 읽고도 계산을 이어 갔다. 이때 “표를 잘못 봤다”라고만 고치지 않고, 손가락으로 각도 35°를 먼저 짚은 다음 sin 열을 수직으로 따라가게 했다. 읽은 값 옆에는 반드시 ‘sin 35°’라고 다시 적었다.
또한 tan 45°처럼 값이 1인 경우에는 계산이 간단하다는 이유로 표 확인을 생략했다. 그러나 삼각비 표 읽기 연습의 목적은 답을 빨리 쓰는 것이 아니라, 주어진 각도와 비의 종류를 근거 있게 연결하는 데 있다. 따라서 익숙한 값이라도 “tan은 대변 ÷ 인접변이므로 이 문제의 두 변이 그 관계에 해당한다”고 확인한 뒤 사용하게 했다.
기준각 표시 → 대변·인접변·빗변 표시 → 필요한 비 결정 → 표의 각도와 행 확인 → 식 작성 → 결과의 크기 점검
이 순서를 문제 옆에 길게 적어 두는 대신, 학생은 처음 두 단계만 그림에 직접 표시하고 나머지는 말로 설명했다. 그림이 없는 서술형에서는 문장 속 “바닥과 이루는 각”, “높이”, “경사면”을 읽고 직각삼각형을 간단히 그린 뒤 같은 표시를 했다.
탄현동의 학교 일정에 맞춘 짧은 변형 확인
탄현동에는 일산동중학교와 호곡중학교가 있고, 같은 일산서구의 참고 학교로 고양송산중학교·대송중학교·대화중학교가 있다. 다만 참고 학교를 탄현동 소재 학교로 볼 수는 없으며, 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정도 다를 수 있다. 그래서 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 학생이 실제로 받는 프린트와 시험 범위에 맞춰 한 문항을 푼 뒤 숫자와 그림의 위치를 바꾸는 방식으로 확인했다.
주중에는 표의 값을 그대로 묻는 문제보다, 같은 삼각형을 돌려 놓거나 구하는 대상을 바꾼 문제를 짧게 배치했다. 예를 들어 처음에는 기준각 40°, 빗변 12cm에서 대변을 구했다면, 다음 문제에서는 기준각을 50°로 바꾸고 인접변의 길이를 구하게 했다. 학생은 처음에 다시 sin을 선택했지만, 기준각 표시와 구하는 변 표시를 한 뒤 cos 50°로 수정했다.
새 그림에서 도움 없이 선택하는지 확인하기
독립 검증에서는 삼각형의 모양을 처음 문제와 다르게 제시했다. 직각은 오른쪽 아래에 있고, 기준각은 왼쪽 위에 표시했으며, 빗변의 길이 대신 기준각에 붙은 한 변의 길이와 각도를 주었다. 학생은 곧바로 표를 찾지 않고 먼저 직각 표시의 맞은편 변을 빗변으로 정했다. 이어 구하려는 높이가 기준각의 대변임을 표시하고, 알고 있는 변이 인접변이므로 tan을 선택했다.
이번에는 tan 35° = x ÷ 8이라는 식을 세운 뒤 x = 8 × tan 35°로 계산했다. 이전처럼 각도만 보고 sin을 고르지 않았고, 왜 tan을 사용했는지도 “대변과 인접변을 연결하는 비이기 때문”이라고 설명했다. 마지막에는 구한 높이가 인접변 8cm보다 클 수 있다는 점을 확인하고, 대변과 인접변의 크기 관계에 맞는 결과인지 검토했다.
삼각비 표 읽기가 익숙해졌는지는 표의 값을 많이 외웠는지로 판단하지 않는다. 각도, 기준각에서의 변 위치, 구하는 대상을 바꾼 새 문제에서 표의 행을 스스로 고르고 그 이유를 식으로 남길 수 있는지가 기준이다. 탄현마을이나 탄현2단지, 탄현큰마을처럼 생활권과 이동 일정이 다른 학생도 이 기준에 따라 자신의 학교 학습지와 주간 학습 시간에 맞춰 변형 문제를 조절할 수 있다.