탄현동중1수학과외, 소인수분해 서술형에서 식보다 먼저 주어진 것과 구할 것을 나누는 연습
“360＝2³×3²입니다.”
계산 결과만 보면 맞는 답이다. 그러나 서술형 답안에서 이 한 줄만 적으면 왜 그렇게 분해했는지, 문제에서 무엇을 구하라고 했는지 드러나지 않을 수 있다. 특히 중1 첫 시험에서 소인수분해가 포함된 범위가 넓게 제시되면, 학생은 학교 프린트와 학원 숙제를 번갈아 풀면서 답지의 풀이 모양을 기억하는 데 집중하기 쉽다. 다음 날 같은 유형을 만나면 풀이를 본 전날 장면은 떠오르지만, 백지에서 첫 줄을 만들지 못하는 모습이 나타난다.
탄현동에는 일산동중학교와 호곡중학교가 있고, 같은 일산서구의 참고 학교로 고양송산중학교·대송중학교·대화중학교가 있다. 다만 학교별 자료와 주간 일정은 다를 수 있으므로 탄현동 전체를 하나의 학습 성향으로 단정하기보다, 학생이 학교 자료와 숙제를 어떤 순서로 처리하는지 살피는 것이 적절하다. 이 글에서는 학교 이름보다 소인수분해 서술형에서 근거를 남기고 스스로 풀이를 시작하는 과정을 중심으로 본다.
답지는 이해되는데 백지에서 멈추는 장면
예를 들어 문제에 “180을 소인수분해하고, 소인수분해 과정을 설명하시오.”라고 쓰여 있다고 하자. 학생은 답지를 본 뒤 다음과 같이 적는다.
180＝2²×3²×5
결과는 정확하다. 하지만 풀이 과정에는 180을 어떤 수로 나누었는지, 더 이상 나눌 수 없을 때 무엇을 확인했는지가 없다. 답지를 덮으면 180을 2로 먼저 나눌지, 3으로 나눌지 결정하지 못하고 곧바로 정답을 떠올리려 한다. 또는 180＝2×90＝2×2×45까지 적은 뒤 45를 3×15로 바꾸는 과정에서 소인수 하나를 빠뜨린다.
이때 “개념이 부족하다”라고만 정리하면 다음 문제에서도 같은 오류가 반복된다. 실제 행동은 답지를 본 직후 교과서 풀이를 거의 그대로 옮겨 적고, 책을 덮은 뒤에는 첫 번째 나눗셈을 혼자 정하지 못하는 것이다. 또 주어진 수와 최종적으로 구해야 할 소인수분해 결과를 구분하지 않아, 중간 계산을 근거로 남기지 않고 정답만 쓰게 된다.
한 페이지 안에서 표시를 두 종류로 나누기
오답노트에는 문제를 다시 길게 베끼기보다, 먼저 ‘주어진 것’과 ‘구할 것’을 서로 다른 표시로 적는다. 예를 들어 주어진 수에는 네모, 구할 대상에는 동그라미를 사용한다.
- □ 주어진 수: 180
- ○ 구할 것: 180의 소인수분해
- 판단: 가장 작은 소수부터 나누어 본다.
그 다음 계산을 한 줄에 몰아 쓰지 않고 중간식을 남긴다.
180＝2×90＝2×2×45＝2×2×3×15＝2×2×3×3×5
마지막에 지수로 정리하여 180＝2²×3²×5라고 쓴다. 여기서 중요한 수정 행동은 결과를 바로 확인하지 않는 것이다. 오답노트의 오른쪽에는 정답을 역방향으로 곱하는 칸을 만든다.
2²×3²×5＝4×9×5＝180
곱셈 결과가 처음 수 180과 같지 않다면 소인수나 지수 중 무엇이 빠졌는지 다시 표시한다. 예를 들어 2²×3×5＝180이라고 적었다면 4×3×5＝60이므로 3의 지수 하나가 누락되었음을 확인할 수 있다. 반대로 2²×3²×5＝180까지 확인했다면 계산 근거와 결과가 연결된 것이다.
식만 맞힌 답안을 근거가 있는 답안으로 바꾸기
서술형에서는 다음 세 칸을 순서대로 채우게 한다.
- 주어진 수를 적고 소인수로 나눈 중간식을 쓴다.
- 더 이상 나눌 수 없는 소수의 곱으로 정리한다.
- 정리한 결과를 다시 곱하여 처음 수와 같은지 확인한다.
예를 들어 252를 소인수분해할 때는 252＝2×126＝2×2×63＝2²×3²×7로 진행한다. 마지막에 2²×3²×7＝4×9×7＝252를 적으면, 단순히 정답을 기억한 것이 아니라 원래 수로 돌아가는 근거가 남는다. 학생이 “252를 2로 나누고, 다시 2로 나눈 뒤 63을 3으로 나눴다”라고 말할 수 있다면 첫 단계와 계산 순서를 스스로 재현한 것이다.
처음부터 답안 전체를 완벽하게 쓰게 하기보다, 문제 옆에 □와 ○를 표시했는지, 중간식 한 줄을 만들었는지, 역산 결과를 적었는지를 확인한다. 이 세 행동이 빠지면 정답이 맞아도 ‘풀이 재현 실패’로 분류한다. 반대로 계산 중 실수가 있었더라도 표시와 역검산을 통해 누락 위치를 찾았다면 수정 가능한 오류로 기록한다.
같은 문제를 바로 반복하지 않는 검증
180을 맞힌 직후 다시 180을 풀게 하는 것은 기억한 풀이 모양을 확인하는 데 그칠 수 있다. 다음에는 숫자를 바꾼 420을 제시한다. 학생은 먼저 □에 420, ○에 ‘420의 소인수분해’를 적고, 420＝2×210＝2²×105＝2²×3×35＝2²×3×5×7로 전개한다. 이후 2²×3×5×7＝420인지 역산한다.
다음 검증에서는 형식을 바꿔 “소인수분해가 2³×3×5인 수를 구하시오.”처럼 제시한다. 이때 2³×3×5＝120이므로, 주어진 수에서 소인수분해를 찾을 때와 반대로 소인수의 곱에서 원래 수를 복원하는지 확인할 수 있다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 요구 방향을 바꾼 문제에서도 □와 ○를 구분하고 근거를 적는지가 핵심이다.
학교 자료와 다른 문제집 문항을 사용해 지수 표기, 나눗셈식, 곱셈식의 배열도 바꾼다. 마지막에는 답을 먼저 말하지 않고 “주어진 것은 무엇이고, 구할 것은 무엇이며, 결과를 어떻게 확인했는가?”를 학생이 설명하게 한다. 다음 날에는 전날의 풀이를 보지 않은 상태에서 540을 다시 제시하고, 일주일 뒤에는 “소인수분해 결과가 2²×3³×5일 때 원래 수를 구하라”는 역방향 문항을 사용한다. 이때도 계산 근거와 역산을 독립적으로 남긴다면 서술형에서 식만 맞히는 단계에서 벗어나고 있는지 확인할 수 있다.