일산동중3수학과외, 삼각비 표에서 기준각과 조건을 다시 읽는 연습
삼각비 표에서 30°를 찾은 뒤 곧바로 표의 첫 번째 숫자를 답으로 옮기는 학생이 있다. 그러나 표가 무엇을 기준으로 배열되었는지, 구하려는 값이 사인인지 코사인인지 탄젠트인지 확인하지 않으면 숫자를 정확히 읽고도 틀릴 수 있다. 중3 삼각비에서 필요한 것은 표를 외우는 속도보다 주어진 조건에 맞는 비를 선택하는 판단이다.
“각도가 30°니까 표에서 30° 줄을 찾아 1/2을 썼어요.”
이 답은 사인 30°를 구하는 문제라면 맞지만, 같은 각도에서 코사인이나 탄젠트를 묻는다면 달라진다. sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tan 30°=√3/3이므로 각도만 확인해서는 충분하지 않다. 학생이 표를 펼쳤을 때 먼저 해야 할 행동은 각도에 동그라미를 치는 것이 아니라, 구하는 삼각비의 이름에 밑줄을 긋는 것이다.
표의 숫자보다 먼저 확인할 두 가지
직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°이고 ∠A=30°라고 하자. 이때 ∠A를 기준으로 보면 빗변은 직각 맞은편 변인 AB, 대변은 AC가 아닌 ∠A의 맞은편 변 BC, 인접변은 직각변 중 기준각에 붙어 있는 AC이다. 따라서
sin A=대변/빗변=BC/AB
cos A=인접변/빗변=AC/AB
tan A=대변/인접변=BC/AC
표 읽기 전에 기준각을 바꾸면 변의 이름도 다시 정해야 한다. ∠B를 기준으로 바꾸면 BC는 인접변, AC는 대변이 된다. 같은 그림이라도 기준각이 달라지면 사용할 삼각비와 대응하는 변이 달라진다. 학생이 ∠A와 ∠B를 혼동할 때는 표를 다시 외우게 하기보다 그림에 기준각을 표시하고, ‘빗변-대변-인접변’ 세 단어를 순서대로 적게 하는 편이 효과적이다.
맞힌 계산 뒤에도 남는 조건 판별
예를 들어 빗변의 길이가 10이고 기준각이 30°인 직각삼각형에서 대변의 길이를 구한다면 sin 30°=대변/10을 사용한다. 대변을 x라 두면
1/2=x/10
x=5
가 된다. 그런데 학생이 cos 30°=√3/2를 읽고 x/10=√3/2로 계산했다면, 숫자를 잘못 읽은 것이 아니라 ‘구하려는 변이 기준각의 맞은편인가, 옆에 붙어 있는가’를 판별하지 않은 것이다. 수정할 때는 식을 바로 지우지 않고, 표 옆에 ‘구하는 변/빗변’ 또는 ‘구하는 변/인접변’을 먼저 쓰게 한다. 그다음 해당 삼각비를 선택하고 값을 대입한다.
반대로 인접변이 6, 빗변이 12이고 기준각이 θ라면 cos θ=6/12=1/2이다. 이때 표에서 cos 60°=1/2를 찾아 θ=60°라고 판단할 수 있다. 단, θ가 직각삼각형의 예각이라는 조건이 있어야 한다. 삼각비 표의 값만 보고 각도를 정할 때는 어떤 삼각비의 표인지, 각의 범위가 무엇인지 함께 확인해야 한다.
일산동에서 이어지는 짧은 풀이 단위
일산신도시와 일산화훼단지 주변처럼 학교와 주거지가 이어지는 생활권에서는 방과후 이동 뒤 긴 학습 시간을 확보하기보다, 이동 전후에 한 문항의 판단 과정을 정확히 기록하는 방식이 현실적일 수 있다. 일산동중학교를 비롯해 백마중학교, 백석중학교, 백신중학교, 신일중학교, 안곡중학교 등 일산동 생활권에서 통학하는 학생이라면 수업이나 방과후 일정이 끝난 뒤 다음 세 줄만 남겨도 된다.
- 기준각은 어느 각인가?
- 구하는 변은 대변·인접변·빗변 중 무엇인가?
- 따라서 sin, cos, tan 중 무엇을 쓰는가?
이 기록은 학교별 출제경향을 단정하기 위한 것이 아니라, 실제 이동 뒤 짧은 자습 시간에도 풀이의 첫 판단을 놓치지 않도록 만드는 장치다. 일산서구 전체 학교 자료와 일산동 지역 학교 자료는 범위가 다르므로, 학습 계획을 세울 때도 자신이 다니는 학교의 프린트와 문제 조건을 우선 확인해야 한다.
도형의 방향이 바뀌어도 같은 판단을 꺼내는가
다음 문제에서는 그림의 방향을 바꾼다. 직각삼각형에서 기준각 θ의 맞은편 변이 8, 인접변이 8√3이라면
tan θ=8/(8√3)=1/√3=√3/3
이므로 표에서 tan 30°=√3/3을 찾아 θ=30°로 판단한다. 여기서 분모의 유리화를 하지 않아도 표의 값과 비교할 수 있지만, 답을 정리할 때는 1/√3을 √3/3으로 바꾸는 과정이 필요하다.
학생이 앞 문제에서 ‘빗변이 보이는 비’를 골랐더라도 새 문제에서는 빗변이 주어지지 않고 대변과 인접변만 주어질 수 있다. 이때도 이전 답을 기억해 고르는 것이 아니라, 두 변의 관계를 다시 읽어야 한다. 풀이를 시작하자마자 tan을 쓰는 것이 아니라, 기준각의 맞은편과 옆 변을 표시한 뒤 비를 세우는지 확인한다.
표를 읽은 뒤 역검산하기
cos 60°=1/2를 이용해 빗변 14인 삼각형의 인접변을 구하면 x/14=1/2이므로 x=7이다. 계산이 끝난 뒤에는 7/14=1/2을 다시 대입한다. 또 대변은 피타고라스 관계로 확인할 수 있어, 대변의 길이는 √(14²-7²)=7√3이다. 그러면 tan 60°=(7√3)/7=√3이 되어 표의 값과도 일치한다.
이처럼 검산은 같은 식을 한 번 더 쓰는 데 그치지 않는다. 구한 변이 빗변보다 큰지, 직각삼각형의 변 관계에 맞는지, 선택한 삼각비 표의 값과 일치하는지를 확인한다. 새로운 문제에서 각도가 45°로 바뀌고 대변이 9로 주어져도 학생이 먼저 기준각을 표시하고 tan 45°=1을 근거로 인접변도 9라고 설명한다면, 표의 숫자를 외운 것이 아니라 조건을 읽어 적용한 것으로 볼 수 있다.