대화동중3수학과외, 기준각이 바뀌면 삼각비도 다시 정해야 하는 이유
“sin 30°니까 대변을 빗변으로 나누면 되죠?”
대화동의 한 중3 학생은 직각삼각형 문제에서 이 문장을 먼저 말한 뒤, 그림에 표시된 각을 확인하지 않고 곧바로 비를 세웠다. 직각삼각형의 변 길이는 맞게 읽었지만 기준각이 30°인지 60°인지에 따라 대변과 인접변의 위치가 달라진다는 점을 놓친 것이다. 삼각비 문제에서 공식 자체를 외우고도 답이 달라지는 이유는 계산보다 앞선 기준각 판단에 있다.
같은 삼각형이라도 기준각에 따라 대변이 달라진다
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°, AB=10이라고 하자. AB는 직각의 맞은편에 있으므로 어느 기준각을 선택해도 빗변이다. ∠A를 기준으로 보면 BC가 대변이고 AC가 인접변이다. 따라서
sin 30°=BC/10
이므로 BC=5가 된다. 이때 학생이 자주 쓰는 오답은 sin 30°=AC/10이다. AC는 ∠A와 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변이므로 인접변이지 대변이 아니다.
반대로 ∠B=60°를 기준으로 읽으면 같은 BC가 인접변이 된다. 이때는
sin 60°=AC/10
처럼 AC를 구할 수 있다. 기준각이 바뀌었을 뿐 삼각형은 그대로지만, 대변과 인접변의 이름은 기준각에 따라 다시 정해야 한다.
학생이 공식을 고르기 전에 하는 첫 행동
공식표를 먼저 펼치는 방식은 기준각을 놓치기 쉽다. 풀이 첫 줄에 표시된 각을 동그라미로 묶고, 직각 표시가 있는 꼭짓점과 마주 보는 변에 ‘빗변’이라고 적는다. 그다음 기준각과 마주 보는 변에는 ‘대’, 기준각에 붙어 있는 나머지 변에는 ‘인’이라고 표시한다.
∠A를 기준으로 BC와 AC를 구분한 뒤 필요한 변이 BC라면, 빗변 AB와 대변 BC가 사용되므로 sin을 선택한다. 필요한 변이 AC라면 빗변과 인접변을 비교해야 하므로 cos을 선택한다. 두 직각변의 비를 묻는 경우에는 대변과 인접변을 비교하는 tan이 된다.
학생이 처음에는 그림을 보자마자 “sin인지 cos인지”를 고르려 했다면, 수정 후에는 각 표시, 직각 표시, 빗변, 대변 또는 인접변의 순서로 짧게 적는다. 공식 암기량을 늘리는 대신 공식에 들어가는 변의 근거를 남기는 방식이다.
맞힌 답에도 검산 문장을 붙이는 이유
삼각비 계산이 맞았더라도 풀이가 끝난 것은 아니다. 예컨대 sin 30°=x/10에서 x=5를 얻었다면 x가 빗변 10보다 작은지 확인할 수 있다. 또 30°의 대변은 같은 삼각형에서 60°의 인접변이므로, cos 60°=x/10으로 다시 계산해도 x=5가 나와야 한다.
이 검산은 단순히 답을 다시 계산하는 행동과 다르다. 기준각을 바꾸었을 때 같은 변의 역할이 어떻게 달라지는지 확인하는 과정이다. 학생이 sin 30°와 cos 60°를 각각 계산해 같은 비율을 얻었다면 기준각과 변의 관계를 이해했는지 판단할 수 있다.
표현이 바뀐 문제에서도 기준각부터 찾기
다음 문제에서는 숫자와 그림의 방향을 바꾼다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠R=60°, PR=12이고, PQ의 길이를 구한다고 하자. 학생은 60°라는 숫자만 보고 sin 60°를 쓰기 전에, 먼저 PR이 빗변이고 PQ가 ∠R의 대변이라는 사실을 표시해야 한다.
따라서
sin 60°=PQ/12
이므로 PQ=12sin 60°=6√3이다. 여기서 답을 6으로 적었다면 sin 60°를 sin 30°처럼 처리한 것이다. 수정 행동은 삼각비 값을 무작정 암기하는 데 있지 않다. 60°의 대변과 빗변을 다시 확인하고, sin 60°=√3/2를 대입하는 것이다.
이번에는 같은 도형을 회전해 제시하거나, 구하는 대상을 QR로 바꿀 수 있다. ∠R을 기준으로 QR은 인접변이므로 cos 60°=QR/12를 사용한다. 학생이 도움 없이 기준각을 표시하고, 빗변과 필요한 변의 관계에 따라 sin과 cos을 선택한다면 이전 문제의 정답을 기억한 것이 아니라 판단 절차를 꺼내 쓴 것으로 볼 수 있다.
대화동 생활권에서 점검할 학습 기록
대송중학교, 대화중학교, 장성중학교는 대화동 지역 내 중학교로 확인되며, 고양송산중학교와 덕이중학교는 같은 일산서구의 참고 학교다. 학교별 시험 경향을 단정하기보다 대화마을이나 대화동동문3단지, 원시티1단지 등 생활권에서 학생의 귀가 시각과 과제 처리 시간을 기준으로 삼각비 학습 순서를 조정하는 편이 현실적이다.
귀가 후 바로 많은 문제를 풀기보다 그날 학교 프린트에서 기준각이 표시된 문제 한 개를 골라 ‘기준각-빗변-대변·인접변-공식-검산’의 다섯 표시를 남기게 할 수 있다. 시험 전에는 숫자만 바꾼 문제보다 그림을 회전하거나 구하는 변을 바꾼 문제를 먼저 확인해야 한다.
새 문제에서 학생이 공식 이름을 먼저 말하지 않고 기준각과 변의 관계를 설명한 뒤 풀이를 시작한다면, 삼각비를 외운 수준에서 벗어나 조건에 맞게 적용하고 있는지 확인할 수 있다.