가좌동중3수학과외, 기준각이 바뀌면 삼각비를 다시 정해야 하는 이유
“sin 30°니까 대변은 이쪽이죠?”
가좌동의 한 중3 학생은 직각삼각형 문제에서 기준각이 30°라는 표시를 확인한 뒤 곧바로 sin 30°를 적었다. 그런데 같은 그림 안에서 구해야 하는 변이 달라지고 기준각 표시도 반대편으로 이동하자, 처음에 사용한 대변과 인접변을 그대로 유지했다. 계산 자체는 빠르지만 기준각이 바뀌면 변의 이름도 함께 바뀐다는 조건 판별이 빠져 있었던 것이다.
삼각비에서 대변과 인접변은 삼각형 전체에 고정된 이름이 아니다. 빗변은 직각의 맞은편 변이므로 변하지 않지만, 대변과 인접변은 어느 각을 기준으로 보느냐에 따라 달라진다. 따라서 문제를 읽자마자 사인이나 코사인을 선택하기보다, 먼저 기준각과 직각 표시를 그림에 다시 표시해야 한다.
같은 삼각형인데 기준각만 달라진 두 장면
직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°이고 AB=10, BC=6, AC=8이라고 하자. ∠A를 기준으로 보면 빗변은 AB, 대변은 BC, 인접변은 AC이다. 따라서
sin A = BC ÷ AB = 6 ÷ 10, cos A = AC ÷ AB = 8 ÷ 10이 된다.
하지만 ∠B를 기준으로 바꾸면 대변은 AC, 인접변은 BC가 된다. 이때는
sin B = AC ÷ AB = 8 ÷ 10, cos B = BC ÷ AB = 6 ÷ 10이다.
학생이 자주 적는 “대변은 BC”라는 문장은 ∠A를 기준으로 할 때만 맞다. 기준각이 ∠B로 바뀌면 같은 BC는 인접변이 된다. 이 차이를 확인하지 않고 공식만 기억하면, 숫자를 잘못 대입해도 계산 과정이 그럴듯하게 보인다.
첫 줄에 각과 직각을 동시에 표시하기
문제를 풀 때 학생이 처음 할 일은 삼각비 공식을 쓰는 것이 아니라 기준각에 작은 표시를 하는 것이다. 예를 들어 ∠B를 구하거나 ∠B를 기준으로 길이를 구한다면, B에서 출발해 직각이 아닌 두 변을 확인한다. 직각으로 연결된 변이 아닌 AB가 빗변이고, 나머지 두 변 중 B와 맞닿은 BC가 인접변, B와 마주 보는 AC가 대변이다.
- 직각 표시를 찾아 빗변에 한 번 표시한다.
- 기준각에서 맞은편에 있는 변을 대변으로 표시한다.
- 기준각과 맞닿아 있으면서 빗변이 아닌 변을 인접변으로 표시한다.
- 구하려는 길이와 알고 있는 길이를 비교해 사인·코사인·탄젠트 중 하나를 고른다.
이 네 가지를 그림 옆에 짧게 적으면 기준각이 바뀐 변형문제에서도 처음 행동이 흔들리지 않는다. 특히 탄젠트를 사용할 때는 빗변을 포함하지 않는다. 기준각의 대변과 인접변만 비교해야 하므로 tan θ = 대변 ÷ 인접변으로 따로 확인한다.
맞는 숫자를 넣고도 틀리는 풀이
“∠A에서 BC가 대변이었으니까 ∠B에서도 BC를 대변으로 두고 tan B를 썼어요.”
이 설명에서 잘못된 부분은 계산이 아니라 ‘대변이 항상 같은 변’이라고 말한 데 있다. 학생에게 공식을 다시 외우게 하기보다, 현재 기준각에서 해당 변이 어느 위치에 있는지 말로 설명하게 해야 한다. ∠B를 기준으로 BC는 B와 연결되어 있고 빗변 AB가 아니므로 인접변이다. 반대로 AC는 B에서 보았을 때 맞은편에 있으므로 대변이다.
따라서 AB=10, BC=6, AC=8인 위 삼각형에서 ∠B의 탄젠트를 구하면 tan B = AC ÷ BC = 8 ÷ 6 = 4 ÷ 3이다. BC를 대변으로 잘못 두면 6 ÷ 8 = 3 ÷ 4가 되는데, 두 값은 서로 다르다. 학생은 계산기를 누르기 전에도 대변과 인접변의 위치를 다시 말해 보아야 한다.
가좌동 생활 일정에 맞춘 기준각 판별 연습
가좌동에서는 지역 내 중학교로 확인된 고양송산중학교와 같은 일산서구의 참고 학교인 대송중학교, 대화중학교, 덕이중학교, 발산중학교를 구분해 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 확인할 필요가 있다. 어느 학교의 문제인지 확인되지 않은 출제 경향을 가정하기보다, 실제 일정에 맞춰 기준각이 표시된 기본 문항과 각이 이동한 변형 문항을 한 묶음으로 배치하는 방식이 적절하다.
평일 귀가 시간이 늦은 날에는 긴 풀이보다 그림 하나를 정해 ‘직각-빗변-기준각-대변-인접변’만 표시하게 하고, 귀가가 빠른 날에는 같은 수치로 기준각을 바꾼 두 문제를 비교하게 할 수 있다. 학습 계획의 기준은 문제 수가 아니라 기준각이 달라졌을 때 학생의 첫 표시가 바뀌는지에 둔다.
각을 바꾼 새 문제에서 도움 없이 확인하기
앞의 삼각형에서 이번에는 ∠A가 아니라 ∠B를 기준으로 하고, BC=12, AC=5, AB=13인 문제를 제시한다. 학생이 곧바로 사인을 적는지, 먼저 ∠B와 직각 C를 확인하는지 관찰한다. ∠B에서 대변은 AC=5, 인접변은 BC=12, 빗변은 AB=13이므로
sin B = 5 ÷ 13, cos B = 12 ÷ 13, tan B = 5 ÷ 12이다.
이후 그림을 회전하거나 변의 이름을 바꾸어도 학생이 “기준각에서 맞은편이 대변이고, 직각 맞은편이 빗변”이라고 먼저 설명한다면 정답을 기억한 것이 아니라 조건을 다시 판별한 것이다. 마지막에는 선택한 비가 실제로 어떤 두 변을 사용하는지 식 아래에 한 번 더 적게 한다. 기준각이 바뀌었는데도 같은 변을 반복해 쓰는 습관이 사라졌는지가 중3 삼각비 학습의 확인 기준이 된다.