일산동구중3수학과외, cos의 뜻을 답 뒤에까지 확인하는 학습
“cos 30°니까 30을 적으면 되나요?” 일산동구의 한 중3 학생은 직각삼각형에서 cos 30°의 값을 묻는 문제를 풀고도 답안에 각도만 옮겨 적었다. 다른 문제에서는 기준각을 표시하지 않은 채 가장 긴 변과 짧은 변을 골라 나누었다. 계산 자체보다 먼저 확인해야 할 것은 cos가 어떤 두 변의 비를 뜻하는지, 그리고 주어진 각이 어느 위치에 놓였는지였다.
중3 삼각비에서 cos는 기준각을 정했을 때의 인접변 ÷ 빗변이다. 빗변은 직각의 맞은편에 있는 변으로 기준각이 바뀌어도 달라지지 않지만, 인접변은 기준각에 따라 달라질 수 있다. 따라서 식을 세우기 전에 직각 표시와 기준각을 그림에 직접 표시해야 한다.
cos를 숫자나 기호가 아니라 변의 관계로 읽기
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°이고 AB=10이라면 AB가 빗변이다. A를 기준으로 인접한 변은 AC이므로
cos 30° = AC ÷ AB = AC ÷ 10
이다. cos 30° = √3/2이므로 AC/10=√3/2, AC=5√3으로 정리된다. 학생이 처음 쓴 “cos 30°=30”은 각도와 삼각비의 값을 같은 것으로 본 오류다. 각도 30°는 조건이고, cos 30°는 그 조건에 대응하는 두 변의 비다.
수업에서는 학생에게 공식을 외우게 한 뒤 바로 계산시키지 않고, 문제 그림에서 먼저 세 곳을 짚게 한다. “직각은 어디인가?”, “기준각은 어느 각인가?”, “그 기준각에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변은 무엇인가?”를 말한 다음에야 cos 식을 쓰게 한다. 식을 쓴 뒤에는 해당 변의 길이를 대입했는지도 확인한다.
같은 그림에서도 기준각이 바뀌면 cos의 분자가 달라진다
∠C=90°인 삼각형에서 AB가 빗변이고 AC, BC가 나머지 두 변이라고 하자. ∠A를 기준으로 하면 cos A=AC/AB이지만, ∠B를 기준으로 하면 cos B=BC/AB이다. 두 식의 분모는 같아도 분자는 같지 않다.
학생은 처음에 “직각삼각형에서 cos는 짧은 변을 빗변으로 나누는 것”이라고 설명했다. 이 말은 변의 길이에 의존하므로 그림이 회전되거나 두 변의 길이가 달라지면 바로 틀릴 수 있다. 설명을 “기준각에 붙어 있는 두 변 중 빗변이 아닌 변을 빗변으로 나눈다”로 바꾸자, 기준각이 오른쪽에 표시된 문제에서도 AC 대신 BC를 선택할 수 있었다.
cos의 분자는 기준각을 보고 정하고, cos의 분모는 직각의 맞은편 변인 빗변으로 정한다.
맞힌 답 뒤에 식과 조건을 역검산하기
답이 맞아 보여도 검산은 필요하다. cos 60°의 값은 1/2이므로, 빗변이 14인 경우 기준각에 인접한 변은 7이어야 한다. 학생이 28을 적었다면 cos 60°=14/x처럼 식을 뒤집었거나, 14×2를 계산했을 가능성이 있다. 원래 관계가 인접변/빗변=1/2인지 다시 대입하면 7/14=1/2이므로 7만 조건에 맞는다.
또한 cos의 값은 직각삼각형의 예각에서 0보다 크고 1보다 작다. 계산 결과가 빗변보다 긴 변을 만들거나 1보다 큰 비가 나오면 식, 변의 선택, 계산 중 하나를 다시 살펴봐야 한다. 단순히 정답지와 숫자만 비교하지 않고, 구한 길이를 cos 식에 되돌려 넣어 조건이 유지되는지 확인하게 한다.
문제의 표현이 바뀌어도 첫 행동을 유지하기
처음 연습에서는 그림에 기준각과 직각이 모두 표시되어 있었다. 다음 문제에서는 그림 없이 “길이 12인 빗변과 한 예각 60°가 주어진 직각삼각형에서 그 각에 인접한 변의 길이를 구하라”고 제시했다. 학생은 바로 계산하지 않고 직각삼각형을 간단히 그린 뒤, 빗변에 12, 기준각에 60°를 표시했다. 그 후
cos 60° = 인접변 ÷ 12
를 세워 인접변=6을 얻었다. 숫자와 그림의 제시 방식이 달라졌지만, 기준각을 확인하고 변의 역할을 결정하는 순서는 그대로 사용한 것이다.
일산동구에는 백마중학교, 백석중학교, 백신중학교, 안곡중학교, 일산양일중학교, 저동중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 마두동·백석동·식사동·장항동·정발산동·일산풍동의 모든 학생이 같은 통학권이나 동일한 시험 흐름에 놓인다고 단정할 수는 없다. 귀가 시각과 과제량을 고려해 삼각비 문제를 푼 날에는 답을 맞힌 문항 중 한두 개를 골라 식과 조건을 다시 말해 보는 방식이 현실적이다.
독립 확인은 cos 45°를 새 조건에서 설명하는 방식으로
마지막 확인에서는 이전에 사용한 30°와 60°를 피하고, 두 직각변의 길이가 각각 8인 직각이등변삼각형을 제시했다. 학생은 먼저 두 예각이 45°임을 확인하고 빗변이 8√2임을 구했다. 이어 한 예각에 대한 인접변을 8로 정해
cos 45° = 8 ÷ 8√2 = 1/√2 = √2/2
로 정리했다. 분모를 유리화하는 계산보다 중요한 점은, 각도가 바뀌고 빗변을 새로 구해야 하는 조건에서도 인접변과 빗변을 정확히 다시 선택했다는 사실이다.
새 문제에서 학생이 가장 먼저 직각과 기준각을 표시하고, “cos의 분자는 기준각에 붙은 변, 분모는 빗변”이라고 근거를 말한 뒤, 구한 값을 원래 비에 대입한다면 cos를 기호로만 기억한 단계에서 벗어난 것으로 볼 수 있다.