일산동구 중1수학과외, 내각과 외각의 조건을 표시하고 풀이 시간을 줄이는 연습
“정오각형의 한 외각의 크기는 몇 도인가?”라는 문제에서 72도까지 구해 놓고도 답안에는 108도를 적는 학생이 있다. 내각과 외각의 관계를 모르는 것이 아니라, 어떤 각을 구하라는지 확인하는 과정에서 내각과 외각을 바꾸어 읽은 경우다. 반대로 정오각형의 내각의 합을 구하면서 360도만 적거나, 외각의 합을 다각형의 변의 수로 나누지 않고 임의로 계산하는 장면도 나타난다.
일산동구에는 백마중학교, 백석중학교, 백신중학교, 안곡중학교, 일산양일중학교, 저동중학교 등이 대표 중학교로 확인된다. 다만 마두동·백석동·식사동·장항동·정발산동·일산풍동 등 생활권에 따라 귀가 시각과 과제 일정은 다를 수 있으므로, 학교를 일반화하기보다 실제 풀이 시간과 시험 준비 순서를 점검하는 방식이 필요하다.
한 문제 안에서 내각과 외각을 바꾸어 읽는 장면
중1 학생이 “정육각형의 한 내각의 크기”를 묻는 문제를 풀며 먼저 한 외각이 360÷6=60도라고 계산했다고 하자. 여기까지는 외각을 구한 과정이다. 그런데 문제의 질문으로 돌아가지 않고 60도를 그대로 답으로 적으면 오답이 된다. 내각과 외각은 한 직선 위에서 이루어지는 두 각이므로 180도 관계를 이용해 180-60=120도로 바꾸어야 한다.
또 다른 오답은 내각의 합 공식에서 나타난다. “팔각형의 내각의 합”을 구할 때 (8-2)×180=1080도까지는 맞지만, 이를 다시 8로 나누어 한 내각의 크기라고 쓰는 경우다. 정다각형인지 여부가 제시되지 않았다면 모든 내각이 같다고 가정할 수 없다. 따라서 내각의 합과 한 내각의 크기를 구하는 문제를 구별하고, 정다각형이라는 조건이 있을 때만 1080÷8을 계산해야 한다.
조건을 숫자보다 먼저 붙이는 풀이 순서
이 주제에서 관찰되는 행동은 문제에 나온 숫자부터 계산하고, ‘내각’, ‘외각’, ‘정다각형’, ‘합’과 같은 핵심 조건에는 표시하지 않는 것이다. 틀린 문제를 고칠 때도 풀이 옆에 식을 길게 다시 쓰지만 무엇을 잘못 읽었는지는 남기지 않아 오답노트의 양만 늘어난다. 특히 계산에 문자와 부호가 함께 등장하기 시작하고 수행평가 일정까지 겹치면, 문제의 조건보다 눈에 띄는 숫자와 계산을 먼저 처리하는 습관이 더 뚜렷해질 수 있다.
풀이를 시작하기 전 세 칸을 만든다. 첫 칸에는 구할 대상에 동그라미를 친다. 둘째 칸에는 주어진 도형이 정다각형인지 표시한다. 셋째 칸에는 ‘합’인지 ‘한 각’인지 적는다. 예를 들어 “정오각형의 한 외각”이면 외각, 정다각형, 한 각이라는 세 표시가 남는다. 그 다음 360÷5=72도를 구한다. “정오각형의 한 내각”이라면 180-72=108도까지 이어서 쓴다.
내각의 합을 묻는 문제라면 먼저 (n-2)×180을 적용한다. 정육각형의 경우 (6-2)×180=720도이다. 한 내각을 묻는 경우에는 정다각형 조건을 확인한 뒤 720÷6=120도로 계산한다. 이처럼 합을 구하는 과정과 한 각을 구하는 과정을 중간식으로 분리하면, 마지막에 불필요하게 변의 수로 나누는 실수를 줄일 수 있다.
풀이 시간을 기록하되 정답만으로 종료하지 않기
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 정오각형 내각 문제를 6분 동안 풀어 108도를 맞혔지만 왜 108도인지 설명하지 못할 수 있다. 이때 정답이 맞았으므로 바로 복습 목록에서 지우면 안 된다. 풀이 시간을 적고, ‘외각 72도 계산’, ‘내각은 180도에서 뺌’, ‘정다각형 조건 확인’이 모두 남아 있는지 확인한다. 오래 걸린 정답도 재확인 목록에 남기는 이유는 계산 속도보다 조건을 읽고 연결하는 과정이 아직 안정되지 않았기 때문이다.
오답을 고칠 때는 새 문제를 계속 추가하지 않는다. 기존 문제의 도형 이름과 질문 부분에 표시하고, 내각인지 외각인지 한 줄로 다시 쓴다. 이어서 정다각형 여부, 내각의 합인지 한 각인지, 사용한 공식이 무엇인지 적는다. 서술형이라면 “정오각형의 외각의 합은 360도이므로 한 외각은 360÷5=72도이다. 따라서 한 내각은 180-72=108도이다.”처럼 조건과 계산의 근거를 연결한다.
숫자와 조건을 바꾼 뒤 독립적으로 확인하기
같은 정오각형 문제를 곧바로 다시 풀어 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 먼저 정육각형으로 바꾸어 한 외각을 구하게 한다. 360÷6=60도이므로 한 내각은 120도이다. 다음에는 “정육각형의 내각의 합”으로 질문을 바꾼다. 이때 답은 720도이며 120도를 적으면 질문을 다시 바꾸어 읽은 것이다.
조건을 바꾼 문제도 필요하다. “어떤 다각형의 한 외각이 45도이고 정다각형일 때 변의 수를 구하라”는 문제에서는 360÷45=8이므로 팔각형이다. 반면 내각이 135도라고 제시되면 외각은 180-135=45도인 뒤 변의 수를 구해야 한다. 내각과 외각을 한 번에 섞지 않고 각각의 관계를 기록하는지 확인할 수 있다.
마지막으로 불필요한 숫자를 하나 넣어도 질문에 필요한 정보만 고르는지 본다. “정오각형의 한 외각을 구하라. 변의 길이는 4cm이고 둘레는 20cm이다”와 같은 문제에서 길이 정보는 각의 크기를 구하는 데 사용하지 않는다. 풀이 시간과 답을 기록한 뒤, 다음 날 숫자와 질문을 바꾼 문제를 다시 풀고 일주일 뒤에는 서술형으로 근거를 작성한다. 내각과 외각을 구별하고, 조건에 맞는 공식만 선택하며, 불필요한 정보를 계산에 넣지 않는다면 이 항목의 반복 학습을 종료할 수 있다.