장항동중3수학과외, 변형 문제에서 tan의 뜻을 다시 확인하는 법
“tan 30°는 30°에 1을 붙인 값인가요?” 장항동의 한 중3 학생은 삼각비 문제에서 각도와 변의 관계를 구분하지 못한 채, 계산기에서 tan 값을 먼저 찾으려 했다. 직각삼각형의 변 길이가 제시되어 있어도 어떤 변을 나누어야 하는지 표시하지 않았고, 답을 구한 뒤에도 그 값이 문제의 조건에 맞는지 확인하지 않았다.
이때 필요한 것은 tan의 값을 외우는 일이 아니라, 기준각에 따라 대변과 인접변을 다시 정하는 행동이다. 중3 삼각비에서 tan은 다음 관계를 뜻한다.
tan(기준각) = 대변 ÷ 인접변
여기서 대변은 기준각의 맞은편에 있는 변이고, 인접변은 빗변이 아닌 두 변 중 기준각에 붙어 있는 변이다. 기준각이 바뀌면 대변과 인접변의 위치도 달라진다. 따라서 같은 직각삼각형이라도 어느 각을 기준으로 삼느냐에 따라 tan의 식이 달라질 수 있다.
각을 먼저 표시하지 않으면 tan의 분자와 분모가 뒤집힌다
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=θ이고, BC=6, AC=8이라고 하자. ∠A를 기준으로 보면 BC는 맞은편 변인 대변이고 AC는 기준각에 붙은 인접변이다. 그러므로
tan θ = BC ÷ AC = 6 ÷ 8 = 3 ÷ 4
가 된다. 학생이 8÷6을 적었다면 계산 실수라기보다 기준각을 표시하지 않고 변의 위치를 판단한 것이다. 이 오답을 고칠 때는 식을 외우게 하기보다 문제 그림에서 먼저 θ에 동그라미를 치고, 맞은편 변에 ‘대’, 붙어 있지만 빗변이 아닌 변에 ‘인’이라고 적게 한다.
같은 그림에서 ∠B를 기준으로 바꾸면 상황은 달라진다. 이번에는 AC가 대변이고 BC가 인접변이므로
tan B = AC ÷ BC = 8 ÷ 6 = 4 ÷ 3
이다. 두 값이 서로 다른 것은 잘못된 계산이 아니라 기준각이 달라졌기 때문이다. 학생이 “tan은 짧은 변을 긴 변으로 나누는 것”이라고 설명했다면, 그 문장을 “기준각의 맞은편 변을 기준각에 붙은 직각변으로 나눈다”로 바꾸어 말하게 해야 한다.
빗변을 인접변으로 세지 않는지 확인하기
또 다른 막힘은 기준각에 붙어 있다는 이유만으로 빗변을 인접변에 포함하는 경우다. 직각삼각형에서 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이다. 기준각에 붙어 있어도 tan의 인접변이 될 수 없다.
학생이 빗변 10, 한 직각변 6, 다른 직각변 8인 삼각형에서 어떤 예각 α를 기준으로 tan α를 구한다고 하자. α의 맞은편 변이 6이라면 인접변은 8이다. 따라서 tan α=6/8이지 6/10이 아니다. 6/10은 tan의 정의가 아니며, 빗변을 사용하는 삼각비와 혼동한 결과다.
이 장면에서는 모든 삼각비를 한꺼번에 다시 설명하기보다 현재 문제에 필요한 두 가지를 구별하게 한다. 첫째, tan에는 빗변이 들어가지 않는다. 둘째, 분자는 기준각의 맞은편 변이다. 학생은 답안의 tan 식 옆에 “대변/인접변”을 직접 써서 숫자와 위치를 연결한다.
길이를 구하는 문제에서는 tan 식을 세운 뒤 미지수를 고른다
tan의 의미를 알고도 문자식에서 멈추는 학생이 있다. 예를 들어 기준각이 35°이고, 그 각의 인접변 길이가 12cm, 대변 길이가 xcm라면
tan 35° = x ÷ 12
로 세워야 한다. 따라서 x=12tan35°이다. 계산기를 사용하는 경우에도 tan35°를 먼저 입력하는 것이 아니라, 각도 모드가 degree인지 확인하고 12를 곱한다. x는 대변의 길이이므로 양수여야 하며, tan35°가 약 0.700이므로 x는 약 8.40cm가 된다.
학생이 12÷tan35°라고 적었다면 식의 양변을 어떻게 변형했는지 확인한다.
tan35° = x/12
에서 양변에 12를 곱하면 x=12tan35°이다. 단순히 숫자를 옮기는 것이 아니라, x가 분자에 있다는 점을 기준으로 식을 정리해야 한다. 반대로 대변이 12cm이고 인접변이 xcm라면 tan35°=12/x이므로 x=12÷tan35°가 된다. 같은 숫자라도 구하는 변의 위치가 바뀌면 식이 달라진다.
장항동의 학습 점검은 학교 이름보다 풀이 순서를 살핀다
현재 제공된 자료에서는 장항동 주소에 해당하는 중학교가 확인되지 않았다. 백마중학교, 백석중학교, 백신중학교, 안곡중학교, 일산양일중학교는 같은 일산동구 범위의 통학권 참고 학교이며 장항동 소재 학교로 단정하지 않는다. 그래서 학교별 출제 경향을 추측하기보다 자녀가 귀가한 뒤 과제를 언제 끝내는지, 시험 준비에서 개념 확인과 변형 문제 풀이 중 무엇을 먼저 하는지 점검하는 편이 현실적이다.
tan 단원에서는 문제를 많이 풀었는지보다 한 문항을 다음 순서로 처리했는지가 중요하다.
- 기준각을 그림에서 표시한다.
- 직각과 빗변을 확인한다.
- 기준각의 대변과 인접변을 구분한다.
- tan=대변÷인접변으로 식을 세운다.
- 구하는 변의 위치에 맞게 식을 변형한다.
- 길이의 양수 여부와 대략적인 크기를 확인한다.
과제를 마친 뒤 답만 맞았다고 표시하지 말고, tan 식에서 분자와 분모가 각각 어떤 변인지 말하게 하면 풀이의 근거가 드러난다. 이 과정은 시험 준비 순서를 정할 때도 유용하다. 먼저 학교 문제의 오답에서 기준각 표시가 빠졌는지 확인하고, 그다음 숫자와 그림이 바뀐 문제를 풀게 해야 한다.
새 그림에서 기억이 아닌 판단으로 풀 수 있는가
독립 적용은 앞에서 다룬 6과 8을 다시 쓰는 방식으로 확인하지 않는다. 이번에는 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠P=40°, PQ=9cm, QR=xcm라고 하자. 기준각은 P이므로 QR이 대변이고 PQ가 인접변이다. 학생이 도움 없이
tan40° = x/9
를 세웠다면 tan의 뜻을 새로운 문자와 각도에서도 꺼내 쓴 것이다. 이어서 x=9tan40°로 정리하고, tan40°가 약 0.839이므로 x가 약 7.55cm임을 확인한다. QR이 PQ보다 짧을 것이라는 그림의 예상과도 맞는다.
반대로 기준각을 R로 바꾸면 P의 맞은편 변인 PQ가 대변이고 QR이 인접변이 된다. 따라서 tan R=9/x이다. 학생이 이전 식을 그대로 복사하지 않고 기준각을 새로 표시한 뒤 식을 다시 세우는지가 검증의 기준이다. 숫자, 문자, 각도가 바뀌어도 첫 행동이 ‘기준각 표시’로 유지된다면 tan을 값이 아니라 변의 비로 이해하고 있는 것이다.
중3 수학에서 tan 문제를 끝냈다는 기준은 특정 각도의 값을 외운 상태가 아니다. 그림이 회전되거나 구하는 대상이 바뀌어도 대변과 인접변을 직접 찾아 식을 세우고, 결과가 두 변의 크기와 어울리는지 설명할 수 있는 상태에 가깝다.