일산풍동중2수학과외, 닮음비를 맞혀도 근거를 남기는 정사각형 수행평가 대비
정답은 맞았는데 풀이를 설명하라고 하면 첫 줄부터 멈추는 중2 학생이 있다. 특히 정사각형이나 이등변삼각형이 함께 그려진 닮음 문제에서는 눈에 보이는 각을 바로 밑각이라고 쓰고, 같은 변 표시 없이 비례식부터 세우는 경우가 많다. 이런 풀이가 우연히 정답으로 이어져도 다음 날 그림의 방향이나 대응점 순서가 바뀌면 다시 흔들린다.
이번 학습의 초점은 문제 수를 늘리는 것이 아니라, 닮음 문제에서 어떤 조건을 근거로 사용했는지 풀이에 남기는 것이다. 답을 맞힌 뒤에도 같은 변, 같은 각, 평행 조건을 표시하고 그 성질이 비례식으로 어떻게 연결되는지 확인하는 습관을 만든다.
정사각형 그림에서 먼저 확인할 것
정사각형 ABCD가 있고, 내부에 삼각형이 만들어졌다고 하자. 학생은 그림에서 비슷해 보이는 두 각을 보고 “이 각이 밑각이다”라고 적었다. 그러나 이등변삼각형의 밑각은 같은 두 변에 마주 보는 각이다. 그림의 위치나 모양만으로 밑각을 정할 수 없고, 먼저 어느 두 변의 길이가 같은지 표시해야 한다.
예를 들어 AB=AC라는 조건이 주어졌다면, 같은 변은 AB와 AC이다. 따라서 이 두 변에 마주 보는 각인 ∠B와 ∠C가 같다고 써야 한다. 반대로 정사각형의 네 변이 같다는 사실과 이등변삼각형의 같은 변 조건을 혼동하면, 전혀 다른 각을 대응시키게 된다.
“보이는 각이 비슷해서 선택한 것인지, 같은 변이나 평행선 때문에 같다고 말할 수 있는 것인지 구분해 보자.”
현재 풀이에서 나타난 실제 막힘
학생은 닮음비가 2:3으로 계산되는 문제를 맞혔다. 하지만 풀이에는 숫자만 남아 있었고, 어떤 삼각형과 어떤 삼각형이 닮음인지 적지 않았다. 다음 날 그림을 좌우로 바꾸고 대응점을 순서만 다르게 제시하자, 작은 삼각형의 변을 큰 삼각형의 엉뚱한 변과 연결했다.
처음 문제에서는 우연히 길이의 배치가 익숙해 정답을 얻었지만, 닮음의 근거를 쓰지 않았기 때문에 대응 관계가 바뀌었을 때 비례식이 무너진 것이다. 이는 단순한 계산 실수가 아니라 도형 근거와 대응 오류가 함께 나타난 장면이다.
또한 답지를 본 뒤 “이해했다”고 판단하고 다음 문제로 넘어가면서, 풀이의 첫 줄을 스스로 재현하는 과정이 빠져 있었다. 문제를 많이 푼 날을 개념이 안정된 날로 판단했지만, 실제로는 맞힌 답의 이유를 설명하지 못한 상태였다.
풀이를 시작하는 네 칸 기록
도형 문제를 풀 때 종이에 다음 네 가지를 순서대로 남긴다.
- 같은 변: 길이가 같다고 주어진 변이나 정사각형의 변을 표시한다.
- 같은 각: 이등변삼각형의 밑각, 정사각형의 직각, 평행선에서 생기는 각을 구분해 적는다.
- 닮음 근거: AA 닮음인지, 두 각이 왜 같은지 짧은 문장으로 쓴다.
- 대응 순서: 작은 삼각형의 꼭짓점과 큰 삼각형의 꼭짓점을 같은 순서로 나열한다.
예를 들어 △PQR과 △XYZ가 닮았고 P↔X, Q↔Y, R↔Z라면 PQ/XY=QR/YZ=PR/XZ처럼 모든 비를 같은 방향으로 쓴다. 대응점을 바꾸어 적었다면 분자와 분모도 함께 바꾸어야 한다. 비례식을 세운 뒤에는 구한 길이를 원래 그림의 크기와 비교해 지나치게 큰 값이나 작은 값인지 확인한다.
학생이 막히면 바로 풀이를 알려주지 않고 “지금 같은 것으로 표시할 수 있는 변이나 각은 무엇인가?”라는 질문을 먼저 만든다. 질문에 답하기 위해 그림에 기호를 직접 표시하게 하고, 표시한 조건 중 실제로 닮음에 필요한 것만 골라 문장으로 바꾸게 한다. 선수개념이 흔들릴 때도 삼각형의 내각 합 전체를 다시 공부하지 않고, 현재 그림에서 필요한 이등변삼각형의 성질과 정사각형의 직각만 짧게 확인한 뒤 문제로 돌아온다.
정사각형 수행평가에 남길 근거
수행평가에서는 최종 답보다 풀이의 연결이 중요할 수 있다. 따라서 “△ABC와 △DEF는 닮음이다”라고만 쓰지 않고, ∠A=∠D, ∠B=∠E이므로 AA 닮음이라고 기록한다. 이등변삼각형을 사용했다면 “AB=AC이므로 ∠B=∠C”처럼 조건과 결론을 한 줄로 연결한다.
정사각형의 변을 이용한 문제에서는 “ABCD는 정사각형이므로 AB=BC=CD=DA, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°”처럼 실제로 사용할 내용만 골라 적는다. 주어진 모든 성질을 장황하게 옮기는 것이 아니라, 닮음비를 만드는 데 필요한 조건을 남기는 방식이다.
그림을 바꾸어 확인하는 독립 검증
같은 문제를 다시 풀어 맞히는 것으로는 충분하지 않다. 이후에는 정사각형을 회전시키고, 삼각형의 위치를 바꾸며, 대응점의 이름 순서를 달리한 새 문제를 사용한다. 작은 삼각형의 한 변이 4cm, 대응하는 큰 삼각형의 변이 6cm라면 닮음비는 2:3이다. 다른 대응변이 5cm일 때 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제에서는 2:3=5:x로 세워 x=7.5cm를 얻어야 한다.
이때 학생이 먼저 같은 변과 같은 각을 표시하는지, 닮음 근거를 문장으로 쓰는지, 대응 순서에 맞춰 비례식을 세우는지를 시간 제한 안에서 확인한다. 도형을 뒤집어도 ∠B가 어느 각과 대응하는지 스스로 고치고, 답을 구한 뒤 대응하는 길이의 비가 계속 2:3인지 검산하게 한다. 정답뿐 아니라 근거, 대응, 비례식 방향이 모두 유지될 때 학습이 안정되었다고 판단한다.
일산풍동 생활권에서의 학습 운영
일산동구 풍동 생활권에는 풍동중학교와 풍산중학교가 있으며, 같은 일산동구의 백마중학교·백석중학교·백신중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 경향을 단정하기보다, 풍동빌라단지와 단풍마을1단지처럼 생활권 안에서 이동하는 시간을 고려해 짧은 기록 학습을 고정하는 편이 현실적이다.
중학교에서 고등학교로 넘어가면 이동과 과제, 시험 준비가 함께 늘어날 수 있으므로 긴 시간 한 번보다 통학 전후 20분 동안 도형 표시와 근거 문장 한 세트를 완성하는 방식이 효율적이다. 수업에서는 현행 오답 한두 문제를 유지선으로 남기고, 다음 날 첫 줄을 다시 쓰는지 확인한다.
자주 묻는 점
답을 맞히면 근거까지 꼭 다시 써야 하나요?
닮음 문제는 대응점이 바뀌면 같은 계산 능력만으로 해결되지 않는다. 같은 변과 각, 닮음 근거를 남겨야 새 그림에서도 적용할 수 있다.
이등변삼각형은 어떻게 표시하나요?
먼저 같은 두 변을 표시하고, 그 두 변에 마주 보는 각이 같다고 쓴다. 그림에서 아래에 놓인 각을 무조건 밑각으로 정하지 않는다.
과외에서는 문제를 많이 풀지 않나요?
문제 수보다 풀이의 첫 줄과 대응 관계를 확인한다. 이후 숫자와 그림 방향을 바꾼 새 문제에서 독립적으로 적용되는지 검증한다.