백석동중3수학과외, tan의 뜻을 공식보다 조건으로 판별하기
“tan은 sin 나누기 cos 아닌가요?”에서 멈춘 학생의 풀이
학생이 삼각비 문제를 풀며 “tan은 sin÷cos이니까 일단 숫자를 넣으면 된다”고 말했다. 그러나 그림 속 기준각을 표시하지 않은 채 식부터 쓰면서 대변과 인접변을 거꾸로 고르는 장면이 반복됐다. tan의 값을 외우고 있어도 기준각이 바뀌거나 도형이 회전하면 어느 변을 사용해야 하는지 판단하지 못한 것이다.
중3수학에서 tan의 뜻을 확인할 때 출발점은 공식 암기가 아니라 “어떤 각을 기준으로 보고 있는가”이다. 직각삼각형에서 기준각을 먼저 표시하고, 그 각과 마주 보는 변이 대변, 직각을 끼지 않으면서 기준각에 붙어 있는 변이 인접변이다. 빗변을 찾는 것보다 먼저 해야 할 일은 기준각과 직각 표시를 동시에 확인하는 것이다. 그 뒤 tan은 다음처럼 정리된다.
tan(기준각) = 대변 ÷ 인접변
같은 삼각형에서도 기준각에 따라 tan의 식이 달라진다
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, AC=4, BC=3이라고 하자. ∠A를 기준으로 보면 BC는 대변이고 AC는 인접변이므로
tan A = 3 ÷ 4
이다. 그런데 ∠B를 기준으로 바꾸면 AC가 대변, BC가 인접변이 된다. 따라서
tan B = 4 ÷ 3
으로 달라진다. 학생이 두 값을 모두 3/4로 적었다면 계산 실수라기보다 기준각을 바꾸고도 변의 역할을 다시 정하지 않은 것이다.
수업에서는 문제를 보자마자 tan을 적게 하지 않는다. 먼저 주어진 각에 동그라미를 치고, 직각 표시에서 멀리 있는 변을 대변으로 선을 긋게 한다. 마지막으로 기준각과 직각에 함께 닿는 변을 인접변으로 표시한다. 이 세 표시가 끝난 뒤에야 “대변/인접변”을 식으로 옮긴다. 공식 한 줄을 기억하는 대신 그림에서 필요한 두 변을 선택하는 절차를 고정하는 방식이다.
숫자를 맞혀도 풀이가 끝나지 않는 이유
한 학생은 ∠A의 tan을 구하는 문제에서 tan A=3/4를 정확히 답했다. 하지만 왜 3을 분자에 놓았는지 설명하라고 하자 “항상 작은 변을 위에 둔다”고 말했다. 이 설명은 우연히 맞은 답을 다른 문제에 적용할 수 없게 만든다. tan에서는 변의 크기나 그림에서의 위치가 기준이 되지 않는다. 기준각과의 관계가 기준이다.
그래서 답을 쓴 뒤에는 계산 결과보다 먼저 다음 문장을 말하게 한다.
- “기준각은 ∠A이다.”
- “∠A와 마주 보는 BC가 대변이다.”
- “AC는 기준각에 붙어 있고 빗변이 아니므로 인접변이다.”
- “따라서 tan A는 BC/AC이다.”
이 설명에서 ‘빗변이 아닌 변’이라는 조건을 빠뜨리면 인접변과 빗변을 혼동하기 쉽다. 특히 기준각에 붙어 있는 두 변 중 하나는 빗변이므로, 인접변을 찾을 때는 직각의 맞은편 변인 빗변을 먼저 제외해야 한다.
도형을 돌려 놓아도 먼저 직각과 기준각을 찾기
학교 프린트에서는 직각삼각형이 꼭 수평으로 제시되지 않는다. 빗변이 아래에 놓이거나 기준각이 오른쪽에 표시되면 학생은 그림의 방향을 기준으로 대변을 고르는 경우가 있다. 이때 “위쪽 변이 대변” 같은 말은 사용할 수 없다. 도형이 회전해도 기준각과 마주 보는 변이라는 관계는 변하지 않기 때문이다.
백석동에서 중3 수학을 지도할 때도 백석중학교 재학생인지, 같은 일산동구의 백마중학교·백신중학교·안곡중학교·일산양일중학교를 참고하는 학생인지에 따라 주간 프린트와 시험 준비 일정은 달라질 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 학원·과제 시간도 서로 다르므로, tan 단원에서는 진도량보다 학생이 문제를 읽고 기준각을 표시하는 시간이 확보되는지를 먼저 본다. 백석11단지, 백석농공단지, 백석마을 등 생활권 안에서도 이동과 주간 일정이 다를 수 있어 동일한 학습 속도를 전제로 하지 않는다.
tan의 역산에서는 분모가 무엇인지 확인한다
tan의 뜻을 알고 있는지 확인하기 위해 값만 구하는 문제에 머물지 않고, 변의 길이를 구하는 문제로 바꾼다. ∠A가 기준각이고 대변 BC=6, 인접변 AC=x, tan A=3/2라면
3/2 = 6/x
이므로 3x=12, x=4이다. 학생이 x=9라고 답했다면 3/2에 6을 곱한 것이 아니라, tan의 분모가 인접변이라는 구조를 식으로 옮기지 못한 것이다. 수정할 때는 곧바로 정답을 알려주지 않고 “tan A에서 분자는 어떤 변인가, 분모는 어떤 변인가”를 다시 말하게 한 뒤 비례식을 작성한다.
반대로 대변을 x로 두고 인접변이 8, tan A=3/4라면
3/4 = x/8
이므로 x=6이다. 같은 tan 공식이라도 구하는 대상이 분자인지 분모인지에 따라 식의 위치가 달라진다. 학생은 숫자를 대입하기 전에 구하는 변을 그림에 표시하고, 그 변이 대변인지 인접변인지 확인해야 한다.
새 그림에서 도움 없이 첫 행동을 꺼내는지 확인한다
다음 검증에서는 숫자와 그림의 방향을 바꾼다. ∠P=90°인 직각삼각형 PQR에서 ∠R을 기준각으로 하고, PQ=5, PR=12라고 제시한다. 학생이 바로 tan R=5/12라고 쓰는 것만 보지 않고, 먼저 ∠R에 표시하고 PQ를 대변, PR을 인접변으로 설명하는지 확인한다. 결과는 tan R=5/12이다.
이번에는 같은 조건에서 ∠Q를 기준각으로 바꾼다. 그러면 PR=12가 대변, PQ=5가 인접변이므로 tan Q=12/5가 된다. 학생이 앞 문제의 5/12를 그대로 옮기지 않고 기준각을 새로 표시한다면 개념을 기억한 것이 아니라 조건에 맞게 적용한 것이다.
마지막으로 “tan R이 5/12보다 큰가, 작은가”를 묻는다. 대변 5가 인접변 12보다 작으므로 tan R은 1보다 작다는 점까지 설명하면 계산과 조건 판별이 연결된다. tan의 학습 기준은 공식을 빠르게 적는 데 있지 않다. 기준각을 찾고, 두 변의 역할을 정한 뒤, 그 근거를 말하면서 새로운 배치에서도 같은 판단을 재현하는 데 있다.