산곡동중1수학과외, 문자식에서 같은 항만 묶이는 이유를 설명하는 연습
“3x+2y=5xy”라고 적은 뒤, 왜 틀렸는지 묻자 한 중1 학생은 “문자끼리 곱하면 되는 것 아닌가요?”라고 답했다. 숫자와 문자가 함께 보이면 먼저 계산부터 하려는 습관 때문에, 문자식에서 더할 수 있는 항과 그대로 두어야 하는 항을 구분하지 못한 장면이다.
산곡동에서 중1 수학 학습을 점검할 때도 학교 이름이나 지역 전체의 수준을 하나로 단정하기보다, 학생이 사용하는 교과서와 학교 프린트, 주간 일정에 따라 문자식 표현을 어떻게 읽고 쓰는지 확인하는 편이 적절하다. 해당 지역 주소의 중학교가 확인된 것은 아니므로, 경민여자중학교·경민중학교·금오중학교·녹양중학교·다온중학교 등 같은 의정부시의 학교 자료는 통학권 참고 범위로만 살펴본다.
문자식의 항을 ‘계산 가능한 수’로만 보지 않기
문자식 3x+2x를 계산할 때 x의 개수를 세면 3개와 2개를 합쳐 5x가 된다. 반면 3x+2y에서는 x와 y가 서로 다른 종류이므로 5xy가 되지 않는다. xy는 x와 y를 곱한 새로운 항이며, 더하기 상황의 결과가 아니다.
학생이 해야 할 첫 행동은 숫자를 바로 계산하는 것이 아니라 항을 나누어 표시하는 것이다. 예를 들어 4a+3b-2a+5를 보면 a가 들어간 항은 밑줄 하나, b가 들어간 항은 밑줄 둘, 숫자만 있는 항은 동그라미로 표시한다. 그러면 4a와 -2a만 묶을 수 있고, 3b와 5는 각각 남는다.
4a+3b-2a+5=(4a-2a)+3b+5=2a+3b+5
여기서 계수의 부호까지 함께 보아야 한다. -2a를 2a로 바꾸어 표시하면 동류항을 찾는 과정에서 이미 오답이 생긴다. 항의 종류를 판단하는 일과 계수를 계산하는 일을 분리하는 것이 핵심이다.
문제를 읽기 전에 숫자부터 계산하는 습관
친구가 선행 문제를 푼다는 말을 들은 뒤 학생이 더 어려운 문제를 빨리 풀려고 하면, “가로의 길이가 x+2이고 세로의 길이가 x인 직사각형의 둘레를 간단히 하시오”라는 문장에서 2와 x를 먼저 계산하려 한다. 또는 숫자 2가 보인다는 이유로 x+2를 하나의 숫자로 취급해 식을 잘못 만든다.
이때 문제에 직접 표시한다. ‘구할 것’에는 네모, ‘주어진 식’에는 밑줄을 긋고, 더하기와 곱하기 기호에는 별도 표시를 한다. 둘레는 가로와 세로를 더한 뒤 2를 곱하는 값이므로 다음과 같이 중간식을 남긴다.
둘레=2×(가로+세로)=2×((x+2)+x)=2×(2x+2)=4x+4
학생이 머릿속으로만 관계를 유지하지 않도록 괄호를 먼저 적게 한다. 특히 2×(x+2+x)를 2x+2+x로 풀어 쓰는 실수는 분배해야 할 대상이 괄호 전체라는 점을 놓친 결과다. 중간식을 생략하지 않으면 항의 종류를 확인하면서 다음 단계로 넘어갈 수 있다.
문자식 표현이 달라도 같은 뜻인지 확인하기
교과서에서는 ‘동류항’, 문제집에서는 ‘같은 종류의 항’이라는 표현을 사용할 수 있다. 표현이 달라졌다고 학습 기준을 바꾸기보다, 문자 부분이 같은지와 계수만 달라지는지를 확인한다. 5m와 -m은 둘 다 m을 포함하므로 동류항이다. -m은 계수가 -1인 -1m으로 볼 수 있다.
반대로 2ab와 2a는 문자 부분이 다르다. 2ab에는 a와 b가 함께 있고 2a에는 a만 있으므로 더해서 4ab나 4a로 만들 수 없다. 문자의 순서가 바뀐 3xy와 2yx는 곱셈의 교환법칙에 따라 문자 부분이 같으므로 5xy로 정리할 수 있다. 이처럼 숫자만 보지 말고 문자 부분 전체를 비교해야 한다.
시간 제한 안에서 스스로 시작하는 절차
시간 제한 세트에서는 각 문제를 보자마자 계산하지 않고 20초 동안 다음 순서를 지킨다.
- 문제에서 구하라고 한 대상을 네모로 표시한다.
- 주어진 식과 숫자에 밑줄을 긋는다.
- 항마다 동류항 표시를 한다.
- 괄호가 있으면 먼저 괄호 안의 항을 확인한다.
- 중간식을 한 줄 이상 작성한 뒤 계수를 계산한다.
예를 들어 7p-3q+2p+q를 보면 p끼리, q끼리 묶는다.
7p+2p-3q+q=9p-2q
답을 쓴 뒤에는 원래 식에 p=2, q=1을 대입해 양변의 값을 비교한다. 원래 식은 14-3+4+1=16이고, 정리한 식은 18-2=16이므로 같은 값인지 확인할 수 있다. 문자식 정리는 모양만 바꾸는 작업이므로 임의의 값에서 결과가 같아야 한다.
다음 날에는 숫자와 조건을 바꾸어 재현하기
같은 문제를 바로 다시 맞힌 것은 풀이를 기억했기 때문일 수 있다. 따라서 다음 날에는 항의 순서와 계수를 바꾼 문제를 제시한다. 예를 들어 7p-3q+2p+q 대신 4r+6s-9r-2s를 주고, 동류항 표시부터 하게 한다.
4r-9r+6s-2s=-5r+4s
이후 r=3, s=-1을 대입한다. 원래 식은 12-6-27+2=-19이고, 정리한 식은 -15-4=-19이다. 음수 대입에서도 같은 값이 나오는지 확인해야 하므로, 단순히 답의 모양을 외운 학생과 항의 종류를 이해한 학생이 구분된다.
일주일 뒤에는 불필요한 숫자가 포함된 문장제와 시간 제한을 함께 적용한다. 관찰 기준은 ‘누가 먼저 하라고 말하지 않아도 구할 것과 주어진 것을 표시하는가’, ‘동류항이 아닌 항을 억지로 합치지 않는가’, ‘검산에서 대입값을 끝까지 계산하는가’이다. 다음 날 재현에 실패한 문제만 오답 목록에 남기고, 이미 새로운 수와 표현에서도 독립적으로 해결한 문제는 반복 목록에서 제외한다.
산곡동중1수학과외에서 확인할 학습 기록
문자식 학습 기록에는 정답만 적지 않고 ‘항 구분’, ‘부호 처리’, ‘괄호 전개’, ‘검산’ 중 어디에서 막혔는지를 표시한다. 그러면 초등 계산 전체를 다시 복습하는 대신 현재 문자식 풀이를 방해한 선수 개념만 짧게 보완할 수 있다. 예를 들어 음수 계산에서만 오류가 반복되면 계수 계산 부분을 다시 확인한 뒤 곧바로 문자식 변형 문제에 적용한다.
산곡동중1수학과외의 학습 목표는 많은 식을 빠르게 처리하는 데만 있지 않다. 문제를 읽고 첫 행동을 정한 뒤, 같은 종류의 항만 묶고, 중간식과 대입 검산으로 결과를 확인하는 과정을 새로운 숫자와 표현에서도 혼자 재현하는 데 있다.