낙양동 고3수학과외: 공간벡터의 방향 조건을 끝까지 검산하기
낙양동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 귀가 후 과제를 빠르게 끝내려다 공간벡터 문제의 조건을 일부만 읽는 실수를 보였다. 송양고등학교를 비롯해 의정부시 내 학교를 참고하더라도, 학교 선택보다 귀가 시각과 시험 준비 순서를 일정하게 점검하는 것이 현재 학습에 더 중요했다.
두 성분만 계산하면 왜 오답이 되는가
다음과 같이 법선벡터와 평행 조건이 함께 제시된 문제를 풀었다.
평면의 법선벡터가 n=(2, -1, 3)이고, 벡터 v=(x, 2, 1)이 평면과 평행할 때 x의 값을 구하여라.
벡터가 평면과 평행하려면 법선벡터와 수직이어야 하므로
v·n=0
을 사용해야 한다. 따라서 정확한 식은
(x, 2, 1)·(2, -1, 3)=2x-2+3=0
이고, 2x+1=0에서 x=-1/2이다.
그러나 학생은 z성분 1과 법선벡터의 z성분 3을 빠뜨리고 다음과 같이 적었다.
오답: (x, 2)·(2, -1)=2x-2=0 → x=1
이 식은 3차원 벡터의 z성분을 삭제했으므로 문제의 내적을 계산한 식이 아니다. 계산 과정 자체보다 먼저 ‘평면과 평행이면 법선벡터와 내적이 0’이라는 관계를 확인해야 했다.
틀린 줄부터 표시하고 원식으로 돌아가기
- 틀린 줄 표시: 2x-2=0에 밑줄을 긋고 누락된 z성분을 확인한다.
- 조건 확인: 평행 조건은 (x,2,1)·(2,-1,3)=0이며 세 성분을 모두 곱해야 한다.
- 식 수정: 2x-2+3=0으로 고쳐 x=-1/2를 구한다.
- 대입 검산: (-1/2,2,1)·(2,-1,3)=-1-2+3=0이므로 조건을 만족한다.
반대로 오답 x=1을 원식에 넣으면 (1,2,1)·(2,-1,3)=2-2+3=3이 되어 0이 아니다. 따라서 x=1은 계산 결과가 아니라 조건을 만족하지 않는 오답 후보임을 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 평행 문제를 반복하지 않고, 이번에는 방향 조건을 수직 조건으로 바꾸었다.
평면의 법선벡터가 n=(2, -1, 3)이고 벡터 u=(4, y, z)가 평면에 수직일 때 y와 z를 구하여라.
벡터가 평면에 수직이면 평면의 법선벡터와 평행하므로
(4, y, z)=t(2, -1, 3)
이다. 첫 번째 성분에서 4=2t이므로 t=2이고,
y=-2, z=6
을 얻는다. z성분을 생략하지 않고 실제 벡터를 u=(4,-2,6)=2(2,-1,3)으로 확인하면 두 벡터가 같은 방향이므로 수직 조건을 만족한다. 방향 조건이 평행에서 수직으로 바뀌면 내적을 0으로 놓는 것이 아니라 법선벡터의 배수 관계를 세워야 한다.