금오동중2수학과외, 닮음비와 넓이비를 서술형으로 설명하는 연습
중2 수학에서 닮음 문제는 답만 맞히는 것과 풀이를 설명하는 것이 다르게 나타난다. 금오동의 금오주공3단지나 금오 현대아이파크아파트처럼 생활권 안에서 학교와 학원, 귀가 시간을 함께 조정해야 하는 학생이라면 문제 수를 계속 늘리기보다 한 문제를 정확히 읽고 근거까지 남기는 훈련이 효율적이다. 특히 중3 선행을 시작하기 전에는 현행 닮음 서술형에서 어떤 성질을 사용했는지 스스로 적을 수 있는지 먼저 확인해야 한다.
답은 맞는데 풀이의 근거가 비어 있는 장면
학생에게 다음과 같은 문제를 제시했다.
두 삼각형 ABC와 DEF가 닮음이고, 대응하는 변의 길이의 비가 AB:DE=2:3이다. 삼각형 ABC의 넓이가 20㎠일 때 삼각형 DEF의 넓이를 구하고, 그 이유를 설명하여라.
학생은 곧바로 20×9/4=45라고 계산해 정답을 적었다. 그러나 “왜 9/4를 곱했니?”라고 묻자 “닮음이라서요”, “계산하면 그렇게 나와요”라고만 답했다. 답안에는 닮음비를 길이비로 사용했다는 표시도, 넓이비로 바꾸었다는 설명도 없었다. 계산 결과는 맞았지만 서술형에서 요구하는 성질과 조건이 빠진 상태다.
이때 문제 수를 더 풀게 하면 같은 방식으로 숫자만 바꾸어 계산할 가능성이 크다. 학생이 틀린 핵심은 계산이 아니라 길이의 비와 넓이의 비를 구분하지 못하고, 사용한 근거를 답안으로 옮기지 않는 데 있다.
닮음비 k와 넓이비 k²를 분리해 적기
먼저 닮음비를 기호로 정리한다. AB:DE=2:3이므로 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로의 닮음비를 k=3/2로 둔다. 닮은 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱이므로 넓이비는 k²=(3/2)²=9/4이다. 따라서 삼각형 DEF의 넓이는 다음과 같이 구한다.
20×9/4=45
답안은 단순히 45㎠라고 끝내지 않고 다음 네 부분으로 나누어 작성한다.
- 식: AB:DE=2:3이므로 닮음비 k=3/2
- 사용한 성질: 닮은 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱이므로 k²=9/4
- 계산: 20×9/4=45
- 결론: 삼각형 DEF의 넓이는 45㎠이다.
이렇게 쓰면 길이비 2:3을 그대로 넓이에 곱하는 오류를 막을 수 있다. 반대로 큰 도형에서 작은 도형으로 넓이를 구한다면 비는 2/3이고 넓이비는 4/9가 된다. 방향을 먼저 정하지 않고 숫자만 대입하면 20×9/4와 20×4/9를 뒤바꿀 수 있으므로, 학생이 문제 옆에 “작은→큰” 또는 “큰→작은”을 표시하게 한다.
금오동 학생의 학습 흐름에 맞춘 기록 훈련
금오중학교와 천보중학교는 금오동 지역의 중학교로 확인되며, 경민여자중학교·경민중학교·녹양중학교는 같은 의정부시 안에서 통학권을 살필 때 참고할 수 있는 학교다. 학교별 시험 경향을 단정할 수는 없지만, 중학교에서 고등학교로 이동할 시기에는 통학과 과제, 시험 준비 시간이 함께 늘어날 수 있다. 그래서 금오동중2수학과외에서는 짧은 시간에 새 문제를 많이 푸는 방식보다 한 문항의 풀이 구조를 스스로 재현하는 데 초점을 둔다.
학생은 문제를 읽은 뒤 바로 계산하지 않고, 답안 여백에 ‘대응하는 변’, ‘닮음비 방향’, ‘넓이비’를 차례로 적는다. 도형 그림이 주어지면 대응점을 임의로 연결하지 않도록 AB와 DE, BC와 EF처럼 대응하는 변을 글로 먼저 옮긴다. 넓이가 제시되었을 때는 k가 아니라 k²를 사용한다는 문장을 계산 전에 작성한다.
검산도 계산을 다시 하는 것으로 끝내지 않는다. 구한 45㎠를 원래 조건에 대입해 20:45=4:9인지 확인하고, 길이비 2:3의 제곱이 실제로 4:9가 되는지 확인한다. 큰 도형의 넓이가 작은 도형보다 작게 나왔다면 비의 방향을 다시 살핀다.
새 조건으로 확인하는 독립 적용
같은 문제의 숫자만 바꾸어 다시 풀게 하지 않는다. 이번에는 닮음비를 3:5로 제시하고 작은 삼각형의 넓이를 27㎠로 바꾼다. 학생은 k=5/3, 넓이비 k²=25/9를 기록한 뒤 27×25/9=75를 계산해야 한다. 답안에는 “변의 길이비가 3:5이므로 넓이비는 9:25가 아니라 작은 도형에서 큰 도형으로 25:9이다”라는 방향 설명도 포함한다.
다음 문제에서는 큰 삼각형의 넓이가 80㎠이고 닮음비가 작은 도형:큰 도형=2:5로 주어진다. 이때 작은 삼각형의 넓이는 80×(2/5)²=80×4/25=64/5㎠이다. 분수가 나와도 정수 답을 만들기 위해 임의로 반올림하지 않고, 주어진 조건에 맞는 64/5㎠를 그대로 적는지 확인한다.
검증 기준은 네 가지다. 닮음비의 방향을 적었는가, 넓이비에 제곱을 적용했는가, 계산 결과를 원래 조건의 비와 비교했는가, 사용한 성질을 문장으로 남겼는가. 다음 날 풀이를 가리지 않고 다시 작성하게 했을 때 이 네 항목을 빠뜨리지 않으면 현행 닮음 서술형 훈련을 마친 것으로 판단한다.
중3 선행보다 먼저 볼 부분
중3 문제를 미리 시작할지 판단할 때는 어려운 교재를 추가하기보다 현재 중2 닮음 문제에서 근거를 남기는 습관을 확인해야 한다. 계산은 맞지만 성질을 설명하지 못한다면 새로운 단원을 늘려도 서술형 오답은 반복될 수 있다. 금오동중2수학과외에서는 학생이 문제를 읽고 조건을 표시한 뒤, 닮음비와 넓이비를 분리하고, 식·성질·계산·결론을 자기 말로 완성하는 순서를 정착시키는 데 중점을 둔다.
자주 묻는 질문
닮음비를 제곱하는 이유를 꼭 써야 하나요?
넓이를 구하는 서술형이라면 필요하다. 닮음비는 길이의 비이고 넓이비는 그 제곱이라는 성질이 계산의 근거이기 때문이다.
답이 맞으면 풀이 설명은 생략해도 되나요?
학교 서술형에서는 조건과 성질을 사용했는지 평가할 수 있으므로 답만으로 충분하지 않을 수 있다. 식·사용한 성질·결론을 짧게라도 남기는 것이 안전하다.