내손동중3수학과외, 통계 자료에서 조건을 먼저 판별하는 풀이
“평균이 더 크니까 이 반의 성적이 더 고르다.” 내손동에서 중3 수학 자료 해석 문제를 풀던 학생이 표를 보고 적은 문장이다. 평균 비교 자체는 가능했지만, ‘고르다’라는 판단에는 평균이 아니라 자료의 흩어진 정도가 필요했다. 학생은 계산을 틀린 것이 아니라 자료가 묻는 대상을 바꾸어 읽고 있었다.
중3 통계 문제에서는 표나 그래프에 나온 숫자를 곧바로 계산하기보다 먼저 구하는 값과 비교할 조건을 나누어야 한다. 평균을 묻는지, 중앙값을 묻는지, 최빈값을 묻는지에 따라 첫 행동이 달라지고, 자료가 얼마나 퍼져 있는지를 묻는다면 편차나 분산, 표준편차를 확인해야 한다. 같은 수치라도 질문의 표현이 바뀌면 선택할 통계값도 달라진다.
평균과 자료의 흩어진 정도를 한 문장으로 섞지 않기
다음과 같이 두 반의 점수가 주어졌다고 하자.
A반: 6, 7, 8, 9, 10
B반: 4, 7, 8, 9, 12
두 반의 평균은 모두 8점이다. 학생은 “평균이 같으므로 두 반의 성적 분포도 같다”고 썼지만, 자료가 모인 정도는 같지 않다. A반의 편차는 -2, -1, 0, 1, 2이고 B반의 편차는 -4, -1, 0, 1, 4이다. 평균에서 멀리 떨어진 값이 있는 B반의 자료가 더 퍼져 있다.
이때 풀이 종이에 ‘평균 비교’와 ‘흩어진 정도 비교’를 따로 적도록 했다. 평균을 구한 뒤 바로 결론을 쓰지 않고, 각 자료에서 평균을 뺀 편차를 계산한다. 이어 편차의 합만 보고 흩어진 정도가 작다고 판단하지 않도록 제곱하여 분산을 구한다. A반의 분산은 (4+1+0+1+4)÷5=2이고, B반은 (16+1+0+1+16)÷5=6.8이다. 따라서 평균은 같지만 B반의 자료가 더 고르지 않다.
‘대표값’이라는 말이 나오면 자료의 모양부터 확인하기
대표값을 고르는 문제에서도 학생은 표의 첫 번째 숫자를 평균처럼 처리하는 행동을 보였다. 자료가 2, 3, 3, 4, 18일 때 평균은 6이고 중앙값은 3, 최빈값은 3이다. 18처럼 유난히 큰 값이 포함되면 평균은 그 값의 영향을 크게 받는다. 자료의 전형적인 위치를 나타내려는 상황에서는 중앙값이 더 적절할 수 있다.
수정할 때는 계산식을 외우게 하기보다 질문의 목적에 밑줄을 긋게 한다. ‘전체 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 값’이면 평균, ‘크기순으로 나열했을 때 가운데 값’이면 중앙값, ‘가장 많이 나타나는 값’이면 최빈값으로 연결한다. 중앙값을 구할 때는 반드시 자료를 크기순으로 다시 배열하고, 자료의 개수가 짝수이면 가운데 두 수의 평균을 구한다.
예를 들어 5, 1, 7, 3, 9, 3의 중앙값을 찾을 때 학생은 입력된 순서의 세 번째와 네 번째 수를 골랐다. 그러나 1, 3, 3, 5, 7, 9로 정렬하면 가운데 두 수는 3과 5이므로 중앙값은 4이다. ‘가운데’라는 표현을 입력 순서의 가운데로 읽지 않는 것이 첫 수정 행동이다.
표와 그래프의 숫자를 읽기 전에 단위와 대상 표시하기
자료 해석 과제에서 오답은 계산보다 표의 조건을 빠뜨리는 데서 시작되기도 한다. 학생이 세로축의 단위가 ‘명’인데 눈금 하나를 1명으로 읽거나, ‘십 명’이라는 표시를 놓치면 그래프의 수치를 모두 잘못 옮긴다. 또 월별 자료에서 특정 월만 비교해야 하는데 전체 기간의 평균을 구하는 경우도 있다.
그래프를 받으면 먼저 세 가지를 표시한다. 무엇을 조사했는지, 가로축과 세로축이 각각 무엇인지, 눈금과 단위가 얼마인지에 네모 표시를 한다. 그 다음 문제의 비교 대상에 밑줄을 긋는다. ‘3월과 5월의 차이’를 묻는다면 두 막대만 읽고, ‘전체 여섯 달의 평균’을 묻는다면 해당 기간의 자료를 모두 확인한다. 문제에 없는 자료를 추측해 보충하지 않는 것도 중요하다.
내손동의 갈뫼중학교와 내손중학교를 비롯해 같은 의왕시의 고천중학교, 덕장중학교, 모락중학교 자료를 참고할 수 있는 상황이라도, 실제 학습 시간은 학생의 생활권과 이동 거리에서 달라질 수 있다. 내손이편한세상1단지나 내손이편한세상4단지처럼 주거지 위치가 다른 학생은 학교와 학원 이동 뒤 문제를 읽고 표를 정리할 시간이 달라질 수 있으므로, 풀이 기록은 같은 시간표로 일괄 적용하기보다 학생이 실제로 확보한 시간에 맞춰 짧게 나누어 확인한다. 다만 학교별 출제 수준을 임의로 단정하지 않고, 학생이 가져온 프린트와 오답에서 확인된 자료 해석 행동을 기준으로 삼는다.
분산 계산 뒤에는 원래 자료의 범위와 방향을 다시 확인한다
분산을 계산한 학생이 2와 6.8을 얻고도 “6.8점 차이”라고 적는 경우가 있다. 분산은 자료의 단위를 제곱한 값이므로 원래 자료의 흩어진 정도를 직접 나타내는 말과 구분해야 한다. 표준편차를 구하는 문제라면 분산에 제곱근을 취하고, 단순히 분산을 비교하는 문제라면 값의 크기만 비교한다.
검산표에는 ‘자료 개수’, ‘평균’, ‘편차의 합’, ‘편차 제곱의 합’, ‘분산’을 차례로 적는다. 편차의 합이 0이 되는지 확인하고, 모든 자료가 평균과 같다면 분산이 0인지 살핀다. 자료 하나가 평균에서 멀어질수록 분산이 커지는지도 원래 표와 대조한다. 계산 결과가 나왔다는 이유만으로 해석 문장을 생략하지 않고, “어느 자료가 더 퍼져 있는가”까지 문장으로 마무리한다.
숫자와 질문을 바꾼 자료에서 첫 판단을 다시 꺼내기
수업 후에는 앞의 두 반 문제를 그대로 반복하지 않고 조건을 바꾼 자료를 제시했다.
C반: 5, 6, 8, 9, 12
D반: 7, 7, 8, 8, 10
이번에는 “어느 반의 평균이 큰가”와 “어느 반의 자료가 더 고른가”를 각각 답하게 했다. C반의 평균은 8점, D반의 평균도 8점이다. C반의 편차 제곱의 합은 9+4+0+1+16=30이므로 분산은 6, D반은 1+1+0+0+4=6이므로 분산은 1.2이다. 학생은 처음부터 질문에 밑줄을 긋고 평균과 분산을 분리해 계산했으며, “평균은 같고 D반이 더 고르다”고 근거를 붙였다.
통계 자료 해석에서 독립적으로 적용했다는 기준은 같은 표의 정답을 기억하는 데 있지 않다. 자료의 단위와 조사 대상을 먼저 확인하고, 질문에 맞는 대표값이나 산포도를 선택한 뒤, 계산 결과가 원래 자료의 모습과 맞는지 설명할 수 있어야 한다. 이 순서를 새 표에서도 도움 없이 시작하는지가 학습 상태를 판단하는 기준이 된다.